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2025年高考物理一轮复习讲义学案 第十章 恒定电流 实验十二 测量电源的电动势和内阻
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这是一份2025年高考物理一轮复习讲义学案 第十章 恒定电流 实验十二 测量电源的电动势和内阻，共15页。
考点1 伏安法测电源的电动势和内阻
1.实验目的
（1）掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.
（2）掌握实物图连线的技巧.
（3）会用图像处理实验数据.
（4）会分析产生误差的原因.
2.实验原理
用电压表测得路端电压，用电流表测出干路电流，通过调节滑动变阻器改变电路中的电阻，测出U、I的数据，根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir，列方程E＝U1＋I1r、E＝U2＋I2r求解.或测多组U、I数据，作U－I图像求解.
3.实验器材
干电池、电压表、电流表、[1] 滑动变阻器 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
4.实验步骤
（1）电流表用[2] 0～0.6 A的量程，电压表用[3] 0～3 V的量程，按图甲连接好图乙的电路.
图甲 图乙
（2）把滑动变阻器的滑片移到使其接入电路的阻值最[4] 大 的一端.
（3）闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据（I1，U1）；用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中.
（4）断开开关，拆除电路，整理好器材.
5.实验数据处理
（1）列方程组E＝U1＋I1rE＝U2＋I2r，解出E、r.
（2）用作图法处理数据，如图丙所示.
图丙
①图线与纵轴的交点的纵坐标为[5] 电源电动势E ；
②图线斜率的绝对值为[6] 电源内阻r .
6.注意事项
（1）为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池.
（2）电流不要过大，应小于0.5A，读数要快.
（3）要测出不少于6组的（I，U）数据，变化范围要大些.
（4）若U－I图线的纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，电源内阻应根据r＝｜ΔUΔI｜确定.
7.误差分析
（1）电路选择
①电源内阻一般较小，选（3）系统误差表格内的图甲电路时误差较小.
②当电流表A的内阻已知时选（3）系统误差表格内的图1电路，此时电源内阻r＝k－RA（k为U－I图线斜率的绝对值），没有系统误差.
（2）偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数，以及作U－I图像时描点不准确.
（3）系统误差
1.[读数＋实物图连线＋作图计算/2023浙江6月]在“测量干电池的电动势和内阻”实验中
（1）部分连线如图1所示，导线a端应连接到 B （选填“A”“B”“C”或“D”）接线柱上.正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图2所示，其示数为 1.20 V.
（2）测得的7组数据已标在如图3所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝ 1.50 V和内阻r＝ 1.04 Ω.（计算结果均保留2位小数）
图3
解析 （1）根据利用电压表和电流表测量干电池电动势和内阻的实验原理，可知导线a应该连接到B接线柱上，测外电路的总电压；根据电压表读数规则可知，电压表示数为1.20V.
（2）将坐标系上的点用直线拟合，使尽可能多的点分布在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，离直线较远的点舍去，如图所示，则干电池的U－I曲线的纵截距等于电池的电动势，E＝1.50V；斜率的绝对值等于干电池的内阻，r＝1.04Ω.
2.[数据处理＋实物图连线＋误差分析/2023湖北]某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图（a）所示电路，所用器材如下：
电压表（量程0～3V，内阻很大）；
电流表（量程0～0.6A）；
电阻箱（阻值0～999.9Ω）；
干电池一节、开关一个和导线若干.
（1）根据图（a），完成图（b）中的实物图连线.
（2）调节电阻箱到最大阻值，闭合开关.逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U.根据记录数据作出的U－I图像如图（c）所示，则干电池的电动势为 1.58 V（保留3位有效数字）、内阻为 0.64 Ω（保留2位有效数字）.
（3）该小组根据记录数据进一步探究，作出1I－R图像如图（d）所示.利用图（d）中图像的纵轴截距，结合（2）问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为 2.5 Ω（保留2位有效数字）.
（4）由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值 偏小 （填“偏大”或“偏小”）.
答案 （1）如图所示
解析 （1）根据电路图依次将实物图连接，如答图所示.
（2）由闭合电路欧姆定律得U＝E－Ir，由图（c）可知E＝1.58V，图像斜率的绝对值等于电源的内阻，则｜k｜＝r＝1.58－Ω＝0.64Ω.
（3）根据闭合电路欧姆定律得E＝I（R＋RA＋r），结合图（d）整理得1I＝1E·R＋RA＋rE，由图（d）可知图像的纵截距为b＝2A－1，即RA＋rE＝2A－1，解得RA＝2.5Ω.
（4）由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值，即实验中测得的干电池内阻偏小.
考点2 安阻法测电源的电动势和内阻
1.实验原理
用电流表测出干路电流，通过调节电阻箱改变电路中的电阻，测出I、R的数据，根据闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，列方程E＝I1R1＋I1r、E＝I2R2＋I2r求解.电路图如图所示.
2.实验器材
电池、[7] 电流表 、[8] 电阻箱 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
3.数据处理
（1）计算法
由E＝I1R1＋I1rE＝I2R2＋I2r解方程组求得E、r.
（2）图像法
由E＝I（R＋r）可得：
①1I＝1ER＋rE，可作1I－R图像（如图甲），1I－R图像的斜率k＝1E，纵轴截距为rE.
②R＝E·1I－r，可作R－1I图像（如图乙），R－1I图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r.
4.误差分析
（1）误差来源：电流表有电阻，导致内阻的测量不准确.
（2）结论：E测＝E真，r测＞r真（r测＝r真＋rA）.
3.[数据处理＋电路设计/2021湖南]某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻（阻值为R0）、一个电流表（内阻为RA）、一根均匀电阻丝（电阻丝的总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹）、导线若干.由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝的长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘.某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度.主要实验步骤如下：
（1）将器材按如图甲所示连接.
（2）开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的 b 端（选填“a”或“b”）.
（3）改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ和电流表的示数I，得到多组数据.
（4）整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图乙所示，图线斜率为k，纵轴截距为d，设单位角度对应的电阻丝的阻值为r0，该电池的电动势和内阻可表示为E＝ r0k ，r＝ dkr0－RA－R0 .（用R0、RA、k、d、r0表示）
（5）为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应的电阻丝的阻值r0.利用现有器材设计实验，在图丙的方框中画出实验电路图（电阻丝用滑动变阻器符号表示）.
（6）利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻.
答案 （5）如图所示
解析 （2）开关闭合前，为了安全，应该使电阻丝接入电路的电阻最大，所以金属夹应夹在电阻丝的b端.
（4）根据闭合电路欧姆定律有I＝Er＋RA＋R0＋r0θ，整理得1I＝r＋RA＋R0E＋r0Eθ，结合题意有k＝r0E，d＝r＋RA＋R0E，解得E＝r0k，r＝dkr0－RA－R0.
（5）为了测量单位角度对应的电阻丝的阻值，可用等效替代法进行测量，设计的电路如答案图所示.实验方法是先将单刀双掷开关接1，记录电流表的示数I0；再将单刀双掷开关接2，将金属夹缓慢地从b端向a端移动，当电流表的示数仍为I0时，记录下接入电路的电阻丝所对应的角度θ0，则单位角度对应的电阻丝的阻值r0＝R0θ0.
考点3 伏阻法测电源的电动势和内阻
1.实验原理
用电压表测出路端电压，通过调节电阻箱改变电路中的电阻，测出U、R的数据，根据闭合电路的欧姆定律，有E＝U＋URr，列方程E＝U1＋U1R1r、E＝U2＋U2R2r求解.电路图如图所示.
2.实验器材
电池、[9] 电压表 、[10] 电阻箱 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
3.数据处理
（1）计算法
由E＝U1＋U1R1rE＝U2＋U2R2r解方程组求得E、r.
（2）图像法
由E＝U＋URr得：1U＝1E＋rE·1R.故1U－1R图线的斜率k＝rE，纵轴截距为1E，如图所示.
4.误差分析
（1）误差来源：电压表有内阻，干路电流的表达式不准确，导致电动势的测量不准确.
（2）结论：E测＜E真，r测＜r真.
4.[2021全国乙]一实验小组利用图甲所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5V）和内阻r（小于2Ω）.图甲中电压表的量程为1V，内阻RV＝380.0Ω；定值电阻R0＝20.0Ω；电阻箱R的最大阻值为999.9Ω；S为开关.按电路图连接电路.完成下列填空：
（1）为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选 15.0 Ω（选填“5.0”或“15.0”）；
（2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
（3）根据图甲所示电路，用R、R0、RV、E和r表示1U，得1U＝ R0＋RVER0RVR＋rR0＋rRV＋R0RVER0RV ；
（4）利用测量数据，作1U－R图线，如图乙所示；
图乙
（5）通过图乙可得E＝ 1.53（1.50～1.56均可） V（保留2位小数），r＝ 0.5（0.4～0.8均可） Ω（保留1位小数）；
（6）若将图甲中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E'，由此产生的误差为E'－EE×100％＝ 5 ％.
解析 （1）为了保护电压表，在闭合开关前，需满足UmR0＞ER0＋R＋r，可得R＞8Ω，所以选15.0Ω.
（3）根据闭合电路的欧姆定律得ER＋r＋R0RVR0＋RV＝UR0RVR0＋RV，整理得1U＝R0＋RVER0RVR＋rR0＋rRV＋R0RVER0RV.
（5）从题图乙可知图线过点（9.5Ω，1.00V－1）和（24Ω，1.50V－1），即R0＋RVER0RV＝4007600Ω·E＝1.50－1.0024－9.5V－1/Ω，解得E＝1.53V；通过（9.5Ω，1.00V－1）和（24Ω，1.50V－1）两点可得出图线与R＝0轴的交点的纵坐标为0.672V－1，则rR0＋rRV＋R0RVER0RV＝0.672V－1，解得r＝0.5Ω.
（6）若电压表是理想电表，则1U＝1E'R0R＋r＋R0E'R0，同理可得120.0Ω·E'＝1.50－1.0024－9.5V－1/Ω，解得E'＝1.45V，误差为E'－EE×100％＝5％.
1.[2024江西丰城中学开学考]在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
（1）电路连线如图甲所示，其中有一根导线 ① （选填“①”“②”或“③”）连接有误.正确连接后，某次测量中电流表指针位置如图乙所示，其示数为 0.40 A.
（2）测得的7组数据已标在如图丙所示的U－I坐标系上，用图像法求得干电池的电动势E＝ 1.50（1.48～1.52均可） V和内阻r＝ 1.04（1.00～1.08均可） Ω.（结果均保留2位小数）
解析 （1）电压表测量的电压应为路端电压，开关应能控制电路，所以导线①连接有误，应该连接到开关的右端.电流表量程为0～0.6A，分度值为0.02A，故题图乙中示数为0.40A.
（2）作出干电池的U－I图线如图所示，根据闭合电路欧姆定律可得U＝E－Ir，可知图线的纵截距表示电动势，故E＝1.50V，斜率的绝对值表示内阻，则r＝1.5－Ω＝1.04Ω.
2.[2023陕西西安高三自测]要测量一电源的电动势E（略小于3V）和内阻r（约1Ω），现有下列器材：电压表V（0～3V，内阻很大），电阻箱R（0～999.9Ω），定值电阻R0＝4Ω，开关和导线若干.某实验小组根据所给器材设计了如图甲所示的实验电路.
图甲
（1）实验小组的同学计划用图像法处理数据，同学们多次调节电阻箱的阻值R，读出对应的电压表示数U，建立坐标系并描点连线得出了如图乙所示的图像，纵轴为1R＋R0，横轴为电压表读数的倒数1U.若所得图线的斜率为k，图线的延长线在纵轴上的截距为－b，则该电源的电动势E＝ kb ，内阻r＝ 1b .（均用k和b表示）
图乙
（2）从实验中取两组数据，电阻箱的阻值R1＝3.0Ω时，对应电压表的读数U1＝2.45V；电阻箱的阻值R2＝5.0Ω时，对应电压表的读数U2＝2.52V.由这两组数据可求得电源的电动势E＝ 2.8 V，内阻r＝ 1.0 Ω.（结果均保留2位有效数字）
（3）利用图甲所示电路测得的电动势E测和内阻r测与真实值E真和r真相比，E测 小于 E真，r测 小于 r真.（均选填“大于”“等于”或“小于”）
解析 解题流程如下：
伏阻法测电源的E和rU＝E－E·rR＋R0＋r①1R＋R0＝Er·1U－1r②
（1）由②式可得图线的延长线在纵轴上的截距－b＝－1r，则r＝1b；斜率k＝Er，则E＝kr＝kb.
（2）将两组数据代入①式或②式可得E＝2.8V，r＝1.0Ω.
（3）实验测得的电源的电动势和内阻实际上是电压表和电源并联后的等效电源的电动势和内阻，则有E测＝E真RVRV＋r真，r测＝r真RVRV＋r真，所以E测＜E真，r测＜r真.
3.小明在实验室中准备测定某些电池的内阻.
（1）小明利用铜片、锌片与橙子制成水果电池，他采用多用电表的欧姆挡直接测量水果电池的内阻，此操作 不可行 （选填“可行”或“不可行”）.
（2）小明用多用电表粗测①中水果电池电动势约为1.2V，查资料发现水果电池内阻约为1kΩ.为准确测定水果电池的内阻，实验室提供了以下仪器：①电流表A（0～200μA，内阻为500Ω）、②电压表V（0～3V，内阻约为3kΩ）、③电阻箱R1（0～9999.9Ω）、④滑动变阻器R2（最大阻值为20Ω）、⑤开关一个，导线若干.下列设计最为合理的电路图是 A .
A B
C D
（3）小明另设计了如图乙所示的电路图，用于测定电池B的内阻r2（电动势E未知），已知电源A的电动势E1、内阻r1.S先与1接通，调节电阻箱，记下电流表的示数I1，保持电阻箱接入电阻不变；S再与2接通，记下电流表的示数I2.重复以上操作，得到多组I1和I2的值；并作出的1I1－1I2的图像如图丙所示，若图线的斜率为k，纵截距为b，则电池B的内阻r2＝ r1－bE1 （选用E1，r1、k、b表示）.若考虑电流表内阻的影响，则电池B内阻的测量值 等于 真实值.（选填“大于”“小于”或“等于”）
图乙 图丙
解析 （1）由于水果电池本身有电动势，所以用多用电表的欧姆挡直接测量水果电池的内阻不可行.
（2）由于滑动变阻器R2的最大阻值相对于水果电池的内阻太小，所以在CD选项的电路图中，无论如何调节滑动变阻器连入电路的阻值，电压表和电流表的示数变化都很小，实验误差很大，故CD不符合题意；对A项电路图，因为电流表的内阻已知，所以可以准确读出流过电池的电流和算出路端电压，误差小；对B项电路图，电压表的内阻未知，即使用该电路做实验，可以得到准确的路端电压，而流过电池的电流误差较大，导致该电路图存在较大实验误差，综上，A符合题意.
（3）结合题意和闭合电路欧姆定律有E1＝I1（R＋r1＋rA）、E2＝I2（R＋r2＋rA），联立可得1I1＝E2E1·1I2＋r1－r2E1，结合题图丙可得r1－r2E1＝b，则r2＝r1－bE1；结合此分析过程可知电流表的内阻对r2的测量结果无影响，所以若考虑电流表内阻的影响，电池B内阻的测量值等于真实值.
4.为了同时测量一电源的电动势（E）和内阻（r），以及未知阻值的电阻Rx，某同学设计了一电路.实验室提供的器材如下：待测电源、待测电阻、电阻箱一个、内阻很小的电流表一只、单刀单掷开关两个和导线若干.
（1）为实现上述目的，请完善图甲中的实物连接.
图甲
（2）该同学实验的主要步骤有：
①闭合S1、S2，多次调节电阻箱，并记录其阻值及对应的电流表的示数；
②保持S1闭合，断开S2，多次调节电阻箱，并记录其阻值及对应的电流表的示数；
③根据记录的数据，作出两条1I－R图线如图乙所示.
由图线可得电动势E＝ ac ，内阻r＝ a ，Rx＝ b－a .（均用图乙中的a、b、c表示）
图乙
（3）若考虑电流表存在一定的电阻，则电源电动势的测量值 等于 真实值，电源内阻的测量值 大于 真实值，电阻Rx的测量值 等于 真实值.（均选填“大于”“等于”或“小于”）
解析 （1）连接实物电路如图所示.
（2）当S1、S2均闭合时，根据闭合电路欧姆定律有E＝I（R＋r），整理得1I＝1ER＋rE；当只有S1闭合时，根据闭合电路欧姆定律有E＝I（R＋r＋Rx），整理得1I＝1ER＋r＋RxE.由1I－R图线可知，图线的斜率k＝1E＝ca，图线的横截距的绝对值a＝r，b＝r＋Rx，解得E＝ac，r＝a，Rx＝b－a.
（3）若考虑电流表存在一定的电阻，当S1、S2均闭合时，根据闭合电路欧姆定律有1I＝1ER＋r＋RAE；当只有S1闭合时，根据闭合电路欧姆定律有1I＝1ER＋r＋Rx＋RAE.对公式做对比可知：电源电动势的测量值等于真实值，电源内阻的测量值大于真实值，电阻Rx的测量值等于真实值.
5.[实验器材创新/2024湖南师范大学附属中学校考]我国某电动汽车公司发布了刀片电池，该电池采用磷酸铁锂技术，通过结构创新，提高了体积利用率和续航里程.某研究小组对其中一个电池片测量其电动势E和内阻r，利用现有有限的器材设计了如图1所示的电路（R0是一个未知阻值的定值电阻），实验步骤如下：
（1）闭合开关，调节电阻箱的阻值，记下阻值R和相应的电压表的读数U，数据如下表.
①其中，当R取6.0Ω时，电压表的读数如图2所示，可得电压为 9.0（8.8～9.2均可） V；
②根据表中的数据在图3的坐标系中作出相应的1U－R图像.
（2）对数据处理成U2RR02表示R的功率PR，用相关函数软件模拟出PR－R图像，如图4所示.
（3）由以上相关数据可以得到定值电阻R0的阻值为 4.0 Ω；该刀片电池的一个电池片的电动势为 25.0 V，内阻为 1.0 Ω.（结果均保留1位小数）
解析 （1）①电压表的分度值为1V，应估读到分度值的下一位，则电压表的读数为9.0V；②根据表中的数据在坐标系中作出相应的1U－R图像如图所示.
（3）根据闭合电路欧姆定律可得E＝U＋UR0R＋UR0r，整理得1U＝1E＋rER0＋1ER0R，由1U－R图像可得纵截距1E＋rER0＝0.05V－1，斜率1ER0＝0.01V－1·Ω－1，联立两式可以解得R0＋r＝5Ω.根据有最大输出功率的条件可知，当R＝R0＋r＝5Ω时，R有最大功率Pm＝14E2R0＋r＝31.25W，解得E＝25.0V，然后可解得R0＝4.0Ω，r＝1.0Ω.核心考点
五年考情
命题分析预测
教材原型实验
2023：湖北T12，浙江6月T16－Ⅱ；
2021：湖南T12，全国乙T23，天津T9（2），浙江1月T18（1）；
2020：山东T14，北京T16，天津T9（2）
①考电路：电路设计或选择（因实验原理为闭合电路欧姆定律，故选用限流电路）、实物连线或改错、器材选择.
②考作图：根据实验数据描点连线画图像.
③考运算：根据U－I、1I－R或1U－1R图像求E、r.
图像
误差分析方法
结论
图像法：若采用图甲电路，电压表的分流作用造成误差，电压表的示数越大，电压表的分流越多，对应的I真（即干路电流）与I测（即电流表的示数）的差越大，I真－I测＝IV＝URV.若电表为理想电表，则U－I图像如图乙所示
E测＜E真，
r测＜r真
等效电源法：如图甲所示，E测＝RVRV＋rE，r测＝RVrRV＋r
图线解析式分析法，如图丙.
∵E测＝U＋Ir测 ∴U＝E测－Ir测
∵E真＝U＋（I＋URV）r真 ∴U＝RVRV＋r真E真－RVr真RV＋r真I
∴E测＝RVRV＋r真E真，r测＝RVRV＋r真r真
图像法：若采用图1电路，电流表的分压作用造成误差，电流表示数越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，U真－U测＝UA＝I·RA.若电表为理想电表，则U－I图像如图2所示
E测＝E真，
r测＞r真
等效电源法：如图1所示，E测＝E，r测＝r＋RA＞r
图线解析式分析法，如图3.
∵E测＝U＋Ir测 ∴U＝E测－Ir测
∵E真＝U＋I（RA＋r真） ∴U＝E真－I（RA＋r真）
∴E测＝E真，r测＝r真＋RA
U（V）
8.3
10.0
11.1
12.5
14.3
16.7
R（Ω）
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1U（V－1）
0.12
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
考点1 伏安法测电源的电动势和内阻
1.实验目的
（1）掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.
（2）掌握实物图连线的技巧.
（3）会用图像处理实验数据.
（4）会分析产生误差的原因.
2.实验原理
用电压表测得路端电压，用电流表测出干路电流，通过调节滑动变阻器改变电路中的电阻，测出U、I的数据，根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir，列方程E＝U1＋I1r、E＝U2＋I2r求解.或测多组U、I数据，作U－I图像求解.
3.实验器材
干电池、电压表、电流表、[1] 滑动变阻器 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
4.实验步骤
（1）电流表用[2] 0～0.6 A的量程，电压表用[3] 0～3 V的量程，按图甲连接好图乙的电路.
图甲 图乙
（2）把滑动变阻器的滑片移到使其接入电路的阻值最[4] 大 的一端.
（3）闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据（I1，U1）；用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中.
（4）断开开关，拆除电路，整理好器材.
5.实验数据处理
（1）列方程组E＝U1＋I1rE＝U2＋I2r，解出E、r.
（2）用作图法处理数据，如图丙所示.
图丙
①图线与纵轴的交点的纵坐标为[5] 电源电动势E ；
②图线斜率的绝对值为[6] 电源内阻r .
6.注意事项
（1）为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池.
（2）电流不要过大，应小于0.5A，读数要快.
（3）要测出不少于6组的（I，U）数据，变化范围要大些.
（4）若U－I图线的纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，电源内阻应根据r＝｜ΔUΔI｜确定.
7.误差分析
（1）电路选择
①电源内阻一般较小，选（3）系统误差表格内的图甲电路时误差较小.
②当电流表A的内阻已知时选（3）系统误差表格内的图1电路，此时电源内阻r＝k－RA（k为U－I图线斜率的绝对值），没有系统误差.
（2）偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数，以及作U－I图像时描点不准确.
（3）系统误差
1.[读数＋实物图连线＋作图计算/2023浙江6月]在“测量干电池的电动势和内阻”实验中
（1）部分连线如图1所示，导线a端应连接到 B （选填“A”“B”“C”或“D”）接线柱上.正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图2所示，其示数为 1.20 V.
（2）测得的7组数据已标在如图3所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝ 1.50 V和内阻r＝ 1.04 Ω.（计算结果均保留2位小数）
图3
解析 （1）根据利用电压表和电流表测量干电池电动势和内阻的实验原理，可知导线a应该连接到B接线柱上，测外电路的总电压；根据电压表读数规则可知，电压表示数为1.20V.
（2）将坐标系上的点用直线拟合，使尽可能多的点分布在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，离直线较远的点舍去，如图所示，则干电池的U－I曲线的纵截距等于电池的电动势，E＝1.50V；斜率的绝对值等于干电池的内阻，r＝1.04Ω.
2.[数据处理＋实物图连线＋误差分析/2023湖北]某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图（a）所示电路，所用器材如下：
电压表（量程0～3V，内阻很大）；
电流表（量程0～0.6A）；
电阻箱（阻值0～999.9Ω）；
干电池一节、开关一个和导线若干.
（1）根据图（a），完成图（b）中的实物图连线.
（2）调节电阻箱到最大阻值，闭合开关.逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U.根据记录数据作出的U－I图像如图（c）所示，则干电池的电动势为 1.58 V（保留3位有效数字）、内阻为 0.64 Ω（保留2位有效数字）.
（3）该小组根据记录数据进一步探究，作出1I－R图像如图（d）所示.利用图（d）中图像的纵轴截距，结合（2）问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为 2.5 Ω（保留2位有效数字）.
（4）由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值 偏小 （填“偏大”或“偏小”）.
答案 （1）如图所示
解析 （1）根据电路图依次将实物图连接，如答图所示.
（2）由闭合电路欧姆定律得U＝E－Ir，由图（c）可知E＝1.58V，图像斜率的绝对值等于电源的内阻，则｜k｜＝r＝1.58－Ω＝0.64Ω.
（3）根据闭合电路欧姆定律得E＝I（R＋RA＋r），结合图（d）整理得1I＝1E·R＋RA＋rE，由图（d）可知图像的纵截距为b＝2A－1，即RA＋rE＝2A－1，解得RA＝2.5Ω.
（4）由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值，即实验中测得的干电池内阻偏小.
考点2 安阻法测电源的电动势和内阻
1.实验原理
用电流表测出干路电流，通过调节电阻箱改变电路中的电阻，测出I、R的数据，根据闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，列方程E＝I1R1＋I1r、E＝I2R2＋I2r求解.电路图如图所示.
2.实验器材
电池、[7] 电流表 、[8] 电阻箱 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
3.数据处理
（1）计算法
由E＝I1R1＋I1rE＝I2R2＋I2r解方程组求得E、r.
（2）图像法
由E＝I（R＋r）可得：
①1I＝1ER＋rE，可作1I－R图像（如图甲），1I－R图像的斜率k＝1E，纵轴截距为rE.
②R＝E·1I－r，可作R－1I图像（如图乙），R－1I图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r.
4.误差分析
（1）误差来源：电流表有电阻，导致内阻的测量不准确.
（2）结论：E测＝E真，r测＞r真（r测＝r真＋rA）.
3.[数据处理＋电路设计/2021湖南]某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻（阻值为R0）、一个电流表（内阻为RA）、一根均匀电阻丝（电阻丝的总阻值大于R0，并配有可在电阻丝上移动的金属夹）、导线若干.由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝的长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘.某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度.主要实验步骤如下：
（1）将器材按如图甲所示连接.
（2）开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的 b 端（选填“a”或“b”）.
（3）改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角θ和电流表的示数I，得到多组数据.
（4）整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图乙所示，图线斜率为k，纵轴截距为d，设单位角度对应的电阻丝的阻值为r0，该电池的电动势和内阻可表示为E＝ r0k ，r＝ dkr0－RA－R0 .（用R0、RA、k、d、r0表示）
（5）为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应的电阻丝的阻值r0.利用现有器材设计实验，在图丙的方框中画出实验电路图（电阻丝用滑动变阻器符号表示）.
（6）利用测出的r0，可得该电池的电动势和内阻.
答案 （5）如图所示
解析 （2）开关闭合前，为了安全，应该使电阻丝接入电路的电阻最大，所以金属夹应夹在电阻丝的b端.
（4）根据闭合电路欧姆定律有I＝Er＋RA＋R0＋r0θ，整理得1I＝r＋RA＋R0E＋r0Eθ，结合题意有k＝r0E，d＝r＋RA＋R0E，解得E＝r0k，r＝dkr0－RA－R0.
（5）为了测量单位角度对应的电阻丝的阻值，可用等效替代法进行测量，设计的电路如答案图所示.实验方法是先将单刀双掷开关接1，记录电流表的示数I0；再将单刀双掷开关接2，将金属夹缓慢地从b端向a端移动，当电流表的示数仍为I0时，记录下接入电路的电阻丝所对应的角度θ0，则单位角度对应的电阻丝的阻值r0＝R0θ0.
考点3 伏阻法测电源的电动势和内阻
1.实验原理
用电压表测出路端电压，通过调节电阻箱改变电路中的电阻，测出U、R的数据，根据闭合电路的欧姆定律，有E＝U＋URr，列方程E＝U1＋U1R1r、E＝U2＋U2R2r求解.电路图如图所示.
2.实验器材
电池、[9] 电压表 、[10] 电阻箱 、开关、导线、坐标纸和刻度尺.
3.数据处理
（1）计算法
由E＝U1＋U1R1rE＝U2＋U2R2r解方程组求得E、r.
（2）图像法
由E＝U＋URr得：1U＝1E＋rE·1R.故1U－1R图线的斜率k＝rE，纵轴截距为1E，如图所示.
4.误差分析
（1）误差来源：电压表有内阻，干路电流的表达式不准确，导致电动势的测量不准确.
（2）结论：E测＜E真，r测＜r真.
4.[2021全国乙]一实验小组利用图甲所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5V）和内阻r（小于2Ω）.图甲中电压表的量程为1V，内阻RV＝380.0Ω；定值电阻R0＝20.0Ω；电阻箱R的最大阻值为999.9Ω；S为开关.按电路图连接电路.完成下列填空：
（1）为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选 15.0 Ω（选填“5.0”或“15.0”）；
（2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
（3）根据图甲所示电路，用R、R0、RV、E和r表示1U，得1U＝ R0＋RVER0RVR＋rR0＋rRV＋R0RVER0RV ；
（4）利用测量数据，作1U－R图线，如图乙所示；
图乙
（5）通过图乙可得E＝ 1.53（1.50～1.56均可） V（保留2位小数），r＝ 0.5（0.4～0.8均可） Ω（保留1位小数）；
（6）若将图甲中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E'，由此产生的误差为E'－EE×100％＝ 5 ％.
解析 （1）为了保护电压表，在闭合开关前，需满足UmR0＞ER0＋R＋r，可得R＞8Ω，所以选15.0Ω.
（3）根据闭合电路的欧姆定律得ER＋r＋R0RVR0＋RV＝UR0RVR0＋RV，整理得1U＝R0＋RVER0RVR＋rR0＋rRV＋R0RVER0RV.
（5）从题图乙可知图线过点（9.5Ω，1.00V－1）和（24Ω，1.50V－1），即R0＋RVER0RV＝4007600Ω·E＝1.50－1.0024－9.5V－1/Ω，解得E＝1.53V；通过（9.5Ω，1.00V－1）和（24Ω，1.50V－1）两点可得出图线与R＝0轴的交点的纵坐标为0.672V－1，则rR0＋rRV＋R0RVER0RV＝0.672V－1，解得r＝0.5Ω.
（6）若电压表是理想电表，则1U＝1E'R0R＋r＋R0E'R0，同理可得120.0Ω·E'＝1.50－1.0024－9.5V－1/Ω，解得E'＝1.45V，误差为E'－EE×100％＝5％.
1.[2024江西丰城中学开学考]在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
（1）电路连线如图甲所示，其中有一根导线 ① （选填“①”“②”或“③”）连接有误.正确连接后，某次测量中电流表指针位置如图乙所示，其示数为 0.40 A.
（2）测得的7组数据已标在如图丙所示的U－I坐标系上，用图像法求得干电池的电动势E＝ 1.50（1.48～1.52均可） V和内阻r＝ 1.04（1.00～1.08均可） Ω.（结果均保留2位小数）
解析 （1）电压表测量的电压应为路端电压，开关应能控制电路，所以导线①连接有误，应该连接到开关的右端.电流表量程为0～0.6A，分度值为0.02A，故题图乙中示数为0.40A.
（2）作出干电池的U－I图线如图所示，根据闭合电路欧姆定律可得U＝E－Ir，可知图线的纵截距表示电动势，故E＝1.50V，斜率的绝对值表示内阻，则r＝1.5－Ω＝1.04Ω.
2.[2023陕西西安高三自测]要测量一电源的电动势E（略小于3V）和内阻r（约1Ω），现有下列器材：电压表V（0～3V，内阻很大），电阻箱R（0～999.9Ω），定值电阻R0＝4Ω，开关和导线若干.某实验小组根据所给器材设计了如图甲所示的实验电路.
图甲
（1）实验小组的同学计划用图像法处理数据，同学们多次调节电阻箱的阻值R，读出对应的电压表示数U，建立坐标系并描点连线得出了如图乙所示的图像，纵轴为1R＋R0，横轴为电压表读数的倒数1U.若所得图线的斜率为k，图线的延长线在纵轴上的截距为－b，则该电源的电动势E＝ kb ，内阻r＝ 1b .（均用k和b表示）
图乙
（2）从实验中取两组数据，电阻箱的阻值R1＝3.0Ω时，对应电压表的读数U1＝2.45V；电阻箱的阻值R2＝5.0Ω时，对应电压表的读数U2＝2.52V.由这两组数据可求得电源的电动势E＝ 2.8 V，内阻r＝ 1.0 Ω.（结果均保留2位有效数字）
（3）利用图甲所示电路测得的电动势E测和内阻r测与真实值E真和r真相比，E测 小于 E真，r测 小于 r真.（均选填“大于”“等于”或“小于”）
解析 解题流程如下：
伏阻法测电源的E和rU＝E－E·rR＋R0＋r①1R＋R0＝Er·1U－1r②
（1）由②式可得图线的延长线在纵轴上的截距－b＝－1r，则r＝1b；斜率k＝Er，则E＝kr＝kb.
（2）将两组数据代入①式或②式可得E＝2.8V，r＝1.0Ω.
（3）实验测得的电源的电动势和内阻实际上是电压表和电源并联后的等效电源的电动势和内阻，则有E测＝E真RVRV＋r真，r测＝r真RVRV＋r真，所以E测＜E真，r测＜r真.
3.小明在实验室中准备测定某些电池的内阻.
（1）小明利用铜片、锌片与橙子制成水果电池，他采用多用电表的欧姆挡直接测量水果电池的内阻，此操作 不可行 （选填“可行”或“不可行”）.
（2）小明用多用电表粗测①中水果电池电动势约为1.2V，查资料发现水果电池内阻约为1kΩ.为准确测定水果电池的内阻，实验室提供了以下仪器：①电流表A（0～200μA，内阻为500Ω）、②电压表V（0～3V，内阻约为3kΩ）、③电阻箱R1（0～9999.9Ω）、④滑动变阻器R2（最大阻值为20Ω）、⑤开关一个，导线若干.下列设计最为合理的电路图是 A .
A B
C D
（3）小明另设计了如图乙所示的电路图，用于测定电池B的内阻r2（电动势E未知），已知电源A的电动势E1、内阻r1.S先与1接通，调节电阻箱，记下电流表的示数I1，保持电阻箱接入电阻不变；S再与2接通，记下电流表的示数I2.重复以上操作，得到多组I1和I2的值；并作出的1I1－1I2的图像如图丙所示，若图线的斜率为k，纵截距为b，则电池B的内阻r2＝ r1－bE1 （选用E1，r1、k、b表示）.若考虑电流表内阻的影响，则电池B内阻的测量值 等于 真实值.（选填“大于”“小于”或“等于”）
图乙 图丙
解析 （1）由于水果电池本身有电动势，所以用多用电表的欧姆挡直接测量水果电池的内阻不可行.
（2）由于滑动变阻器R2的最大阻值相对于水果电池的内阻太小，所以在CD选项的电路图中，无论如何调节滑动变阻器连入电路的阻值，电压表和电流表的示数变化都很小，实验误差很大，故CD不符合题意；对A项电路图，因为电流表的内阻已知，所以可以准确读出流过电池的电流和算出路端电压，误差小；对B项电路图，电压表的内阻未知，即使用该电路做实验，可以得到准确的路端电压，而流过电池的电流误差较大，导致该电路图存在较大实验误差，综上，A符合题意.
（3）结合题意和闭合电路欧姆定律有E1＝I1（R＋r1＋rA）、E2＝I2（R＋r2＋rA），联立可得1I1＝E2E1·1I2＋r1－r2E1，结合题图丙可得r1－r2E1＝b，则r2＝r1－bE1；结合此分析过程可知电流表的内阻对r2的测量结果无影响，所以若考虑电流表内阻的影响，电池B内阻的测量值等于真实值.
4.为了同时测量一电源的电动势（E）和内阻（r），以及未知阻值的电阻Rx，某同学设计了一电路.实验室提供的器材如下：待测电源、待测电阻、电阻箱一个、内阻很小的电流表一只、单刀单掷开关两个和导线若干.
（1）为实现上述目的，请完善图甲中的实物连接.
图甲
（2）该同学实验的主要步骤有：
①闭合S1、S2，多次调节电阻箱，并记录其阻值及对应的电流表的示数；
②保持S1闭合，断开S2，多次调节电阻箱，并记录其阻值及对应的电流表的示数；
③根据记录的数据，作出两条1I－R图线如图乙所示.
由图线可得电动势E＝ ac ，内阻r＝ a ，Rx＝ b－a .（均用图乙中的a、b、c表示）
图乙
（3）若考虑电流表存在一定的电阻，则电源电动势的测量值 等于 真实值，电源内阻的测量值 大于 真实值，电阻Rx的测量值 等于 真实值.（均选填“大于”“等于”或“小于”）
解析 （1）连接实物电路如图所示.
（2）当S1、S2均闭合时，根据闭合电路欧姆定律有E＝I（R＋r），整理得1I＝1ER＋rE；当只有S1闭合时，根据闭合电路欧姆定律有E＝I（R＋r＋Rx），整理得1I＝1ER＋r＋RxE.由1I－R图线可知，图线的斜率k＝1E＝ca，图线的横截距的绝对值a＝r，b＝r＋Rx，解得E＝ac，r＝a，Rx＝b－a.
（3）若考虑电流表存在一定的电阻，当S1、S2均闭合时，根据闭合电路欧姆定律有1I＝1ER＋r＋RAE；当只有S1闭合时，根据闭合电路欧姆定律有1I＝1ER＋r＋Rx＋RAE.对公式做对比可知：电源电动势的测量值等于真实值，电源内阻的测量值大于真实值，电阻Rx的测量值等于真实值.
5.[实验器材创新/2024湖南师范大学附属中学校考]我国某电动汽车公司发布了刀片电池，该电池采用磷酸铁锂技术，通过结构创新，提高了体积利用率和续航里程.某研究小组对其中一个电池片测量其电动势E和内阻r，利用现有有限的器材设计了如图1所示的电路（R0是一个未知阻值的定值电阻），实验步骤如下：
（1）闭合开关，调节电阻箱的阻值，记下阻值R和相应的电压表的读数U，数据如下表.
①其中，当R取6.0Ω时，电压表的读数如图2所示，可得电压为 9.0（8.8～9.2均可） V；
②根据表中的数据在图3的坐标系中作出相应的1U－R图像.
（2）对数据处理成U2RR02表示R的功率PR，用相关函数软件模拟出PR－R图像，如图4所示.
（3）由以上相关数据可以得到定值电阻R0的阻值为 4.0 Ω；该刀片电池的一个电池片的电动势为 25.0 V，内阻为 1.0 Ω.（结果均保留1位小数）
解析 （1）①电压表的分度值为1V，应估读到分度值的下一位，则电压表的读数为9.0V；②根据表中的数据在坐标系中作出相应的1U－R图像如图所示.
（3）根据闭合电路欧姆定律可得E＝U＋UR0R＋UR0r，整理得1U＝1E＋rER0＋1ER0R，由1U－R图像可得纵截距1E＋rER0＝0.05V－1，斜率1ER0＝0.01V－1·Ω－1，联立两式可以解得R0＋r＝5Ω.根据有最大输出功率的条件可知，当R＝R0＋r＝5Ω时，R有最大功率Pm＝14E2R0＋r＝31.25W，解得E＝25.0V，然后可解得R0＝4.0Ω，r＝1.0Ω.核心考点
五年考情
命题分析预测
教材原型实验
2023：湖北T12，浙江6月T16－Ⅱ；
2021：湖南T12，全国乙T23，天津T9（2），浙江1月T18（1）；
2020：山东T14，北京T16，天津T9（2）
①考电路：电路设计或选择（因实验原理为闭合电路欧姆定律，故选用限流电路）、实物连线或改错、器材选择.
②考作图：根据实验数据描点连线画图像.
③考运算：根据U－I、1I－R或1U－1R图像求E、r.
图像
误差分析方法
结论
图像法：若采用图甲电路，电压表的分流作用造成误差，电压表的示数越大，电压表的分流越多，对应的I真（即干路电流）与I测（即电流表的示数）的差越大，I真－I测＝IV＝URV.若电表为理想电表，则U－I图像如图乙所示
E测＜E真，
r测＜r真
等效电源法：如图甲所示，E测＝RVRV＋rE，r测＝RVrRV＋r
图线解析式分析法，如图丙.
∵E测＝U＋Ir测 ∴U＝E测－Ir测
∵E真＝U＋（I＋URV）r真 ∴U＝RVRV＋r真E真－RVr真RV＋r真I
∴E测＝RVRV＋r真E真，r测＝RVRV＋r真r真
图像法：若采用图1电路，电流表的分压作用造成误差，电流表示数越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，U真－U测＝UA＝I·RA.若电表为理想电表，则U－I图像如图2所示
E测＝E真，
r测＞r真
等效电源法：如图1所示，E测＝E，r测＝r＋RA＞r
图线解析式分析法，如图3.
∵E测＝U＋Ir测 ∴U＝E测－Ir测
∵E真＝U＋I（RA＋r真） ∴U＝E真－I（RA＋r真）
∴E测＝E真，r测＝r真＋RA
U（V）
8.3
10.0
11.1
12.5
14.3
16.7
R（Ω）
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1U（V－1）
0.12
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
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