2024年高二数学暑期培优讲义 第12讲 圆锥曲线中探索性与综合性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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例1 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过点P(0，eq \r(6))且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
教师备选
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
思维升华 存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t,0)(t>0)的直线l与C交于A，B两点．
(1)若t＝4，求AP长度的最小值；
(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝﹣4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2eq \r(2)﹣1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围．
教师备选
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足eq \(FP,\s\up6(→))＝(0，﹣2)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|eq \(FA,\s\up6(→))|，|eq \(FP,\s\up6(→))|，|eq \(FB,\s\up6(→))|成等差数列，求该数列的公差．
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0.
跟踪训练2 如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝eq \f(1,2).
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
课时精练
1．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))，直线PM，PN的斜率乘积为﹣eq \f(3,4)，P点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为eq \f(3,4).
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知M(﹣2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为﹣eq \f(1,4)，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p>0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A)．
(1)求曲线C1的方程；
(2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，P为直线y＝x﹣2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.当P在y轴上时，OA⊥OB.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求点O到直线AB距离的最大值．