安徽省六安市毛坦厂中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（A）

这是一份安徽省六安市毛坦厂中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（A），共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知正方形的边长为2，则，已知复数等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章、选择性必修第一册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）
A．B．3C．8D．9
4．如图所示，在直角坐标系中，已知，，则四边形的直观图面积为（ ）
A．B．C．D．
5．若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．在长方体中，为的中点，在中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知正方形的边长为2，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
10．已知三棱柱为空间内一点，若，其中，则（ ）
A．若，则点在棱上B．若，则点在线段上
C．若为棱的中点D．若，则点在线段上
11．如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ）
A．的面积为定值B．
C．点到直线的距离为定值D．二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，若，则________．
13．在正方体中，直线与所成角的大小为________．（用角度表示）
14．已知平面内三点不共线，且点满足，则是的________心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，平面上三点的坐标分别为．
（1）写出向量的坐标；
（2）如果四边形是平行四边形，求点的坐标．
16．（本小题满分15分）如图，四棱柱的底面是正方形，．
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面平面．
17．（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为，已知．
（1）求和的值；
（2）求的面积．
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点．
（1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由；
（2）若，证明：．
19．（本小题满分17分）
如图，在多面体中，四边形为正方形，平面．
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由．
毛坦厂中学2023~2024学年度下学期期末考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ．故选C．
2．A 因为在中，，所以由正弦定理得，解得．故选A．
3．B 由题意得，所以，所以．故选B．
4．D 由题意知，四边形的面积为，所以直观图的面积为．故选D．
5．D 对于A，平行四边形对边平行且相等，所以，故A正确；对于B，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确；对于，利用向量减法的三角形法则得，故C正确；对于D，与是相等的非零向量，，故D错误．故选D．
6．B 如图，连接，易得，设，则，因为，所以，即，解得（负值舍去）．故选B．
7．C ．故选C．
8．D 由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，故．因此，面积的最大值为．故选D．
9．AC 复数，在复平面内复数所对应的点位于第四象限，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．
10．ABD 若，则，即，所以，故点在棱上，故A正确；若，则，所以，故点在线段上，故B正确；若，则，故为的中点，故C错误；若，则三点共线，即点在上，故D正确．故选ABD．
11．ABC 对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对于B，因为在上，，所以，即，故B正确；
对于C，到直线的距离等于到的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故二面角的大小为，故D错误．故选ABC．
12．2 由题意，得所以．
13． 连接，易知，所以即为与所成的角或其补角，易知为等边三角形，故所求角为．
14．垂 因为，同理，故为的垂心．
15．解：（1），
，
．
（2）设，由可得，
所以，故．
16．证明：（1）由题设知，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又平面，
平面，
所以平面．
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
（2）因为四边形为正方形，所以．
因为，所以可得，
则．
设，连接．
易知为中点，则，
因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
17．解：（1）在中，由，可得．
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
因为，故解得．
所以．
（2）由（1）知，，
所以的面积．
18．（1）解：是的中点，
理由如下：
若平面，由平面，平面平面，
得．
又是的中点，在上，
是的中点．
（2）证明：取的中点，连接，
为中点，
，
平面，
平面，
平面，
．
19．解：（1）由题意知两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，
所以
分设平面的一个法向量，则即
令，则，所以．
设平面的一个法向量，则即
令，则，所以，
设平面和平面所成锐二面角为，则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（2）假设存在，又，则，
因为直线与所成角的余弦值为，所以，
因为，所以，即存在点为棱的中点时满足条件．
故，设平面的一个法向量，
则即令，则，所以，
所以点到平面的距离为．