重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（原卷及解析版）

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命题：胡文琦 严傲 审核：苑繁宝 打印：严傲 校对：曹华荣
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 设随机变量，则（ ）
A. 3B. 4C. 12D. 13
4. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ）
A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B. 函数可以是某个圆的“太极函数”
C. 函数可以是某个圆的“太极函数”
D. 是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”
5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
6. 已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A. B. C. D.
7 已知，则（ ）
A. B.
C D.
8. 若对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.
9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 产品的销量与单价成负相关
B. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元
C.
D. 若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
11. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 数列的通项公式为
C.
D. 实数的取值范围为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的导函数分别为，且，则__________.
13. 已知均为实数且，则的最小值为__________.
14. 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设数列是各项均为正实数的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，对，使得成立，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
18. 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
（1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.
（2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.
（3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
19. 已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.
（3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
单价（元）
40
50
60
70
80
90
销量（件）
50
44
43
35
28