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河南省名校+安阳市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
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这是一份河南省名校+安阳市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：张冉 审核人：张书霞
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|2x<4}，B={x∈N|−1A．{x|−12．已知随机变量ξ服从正态分布N(80,σ2)，若P(ξ>120)=0.2，则P(40<ξ≤80)=
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
3．已知函数f(x)={2x+2−x,x≤3f(x2),x>3，则f(lg29)=
A．83B．103C．809D．829
4．已知f(x)=csx(x2+3x)(x+a)为奇函数，则a=
A．3B．−3C．0D．−1
5．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”，的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为
A．y=|x|4−x2B．y=x4−x2C．y=−x2+2|x|D．y=−x2+2x
6．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36B．40C．32D．42
7．已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>2f(x)，f(2)=e，则不等式f(x)>e2x−3的解集为
A．(−∞,2)B．(0,2)C．(2,+∞)D．(32,2)
8．若f(x)的定义域D为[0,+∞)，f(0)=1，且对∀x∈D，满足f(x+2)−f(x)≤2x，f(x+4)−f(x)≥5⋅2x，则下列结论中，一定正确的是
A．f(10)>342B．f(10)=342C．f(12)>1366D．f(12)=1366
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的是
A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题.
B．命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”的否定是假命题.
C．梯形ABCD等腰梯形的充要条件是AC=BD.
D．设a,b,c∈R，则a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
10．从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件A=“抽到K”，事件B=“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是
A．P(B|A)>(A)B．P(B|A)>P(B)C．P(B|A)+P(B|A)=1D．P(B|A)+P(B|A)=1
11．已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=f(x)+2x，f(0)=2，且y=f(x+1)−1为奇函数，则
A．f(−1)=−3B．函数y=f(x)+x的一个周期为4
C．f(2024)=−2022D．∑19i=1f(i)=−150
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．(x2+2y)(x2−y)7的展开式中x4y6的系数为 .（用数字作答）
13．已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y的最小值是 .
14．阅读材料：“在成功概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2+1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2+2).”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数f(x)=(x2−ax−a)ex在(0,f(0))处的切线平行于直线2x+y+3=0.
（1）求a的值；
（2）求f(x)的极值.
16．（15分）河南省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
（1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.
17．（15分）为迎接巴黎奥运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为p(p>0.5)，前两局中甲和乙各胜一局的概率为49.
（1）求p的值；
（2）设终止时比赛局数为X，求X的分布列与期望.
18．（17分）2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两.经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改.以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商販的部分数据：商贩称重重量为xi、执法人员称重重量为yi,（单位：kg）∑10i=1xi=9.9，∑10i=1yi=7.1.其他数据如下：∑10i=1xi2=12.408，∑10i=1xiyi=9.146.
（1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量y与商贩称重重量x之间的回归方程l1（a、b精确到0.001，下同）；
（2）经核实，数据点(0.99,0.305)严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算回归方程l2，证明：l1与l2斜率相等，并求回归方程l2.
参考公式与数据：回归直线y=bx+a中斜率的最小二乘法估计公式为：b=∑ni=1(xi−x)(yi−y)∑ni=1(xi−x)2=∑ni=1xiyi−nxy∑ni=1xi2−nx2，a=y−bx，21172607≈0.812.
19．（17分）已知函数f(x)=ex−ax2−x，f′(x)为f(x)的导数.
（1）讨论f′(x)的单调性.
（2）若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围.
（3）若θ∈(0,π2)，证明：esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)<1.
【参考答案】
安阳一中2023—2024学年第二学期期末考试
高二数学试题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BCD 10．AC 11．BC
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．−35
13．3+22
14．12
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（1） 解：由已知可得f′(x)=(2x−a)ex+(x2−ax−a)ex=(x2+2x−ax−2a)ex，
而直线2x+y+3=0的斜率为k=−2，所以f′(0)=−2a=−2⇒a=1；
（2） 由（1）得f(x)=(x2−x−1)⋅ex⇒f′(x)=ex⋅(x2+x−2)=ex⋅(x−1)(x+2)，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−2,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
故极大值为f(−2)=5e2，极小值为f(1)=−e.
16．（1） 解：零假设为H0：学生选择历史与性别无关联
将表中的数据带入，得倒χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(216−16)225×25×10×40=8.
∴χ2>7.879=x0.005.根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生选择历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.
（2） 法1：抽取的5名同学中，男生有3名，女生2名.设事件A为“选取2名同学担任正副组长中至少有一名女生”，则P(A)=1−C32C52=710(P(A)=1−A32A52=710).
法2：设事件M为“选取2名同学担任正副组长中至少有一名女生”，由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，其中至少有一名女生的情况有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共计有7种情况，所以P(M)=710.
17．（1） 解：由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为p，则乙在每局比赛中获胜的概率为1−p，所以2p(1−p)=49，解得p=23或p=13，又p>0.5，所以p=23.
（2） 依题意X的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率(23)2+(13)2=59，
该轮结束时比赛继续的概率为1−59=49.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X=2)=59，P(X=4)=49×59=2081，
P(X=6)=(49)2=1681，故X的分布列如下：
所以E(X)=2×59+4×2081+6×1681=26681.
18．（1） 解：由题意x=110∑10i=1xi=0.99，y=110∑10i=1yi=0.71
故b=∑10i=1xiyi−xy∑10i=1xi2−10x2=9.146−10×0.99×−10×0.992=≈0.812，a=y−bx≈0.094
因此回归方程l1为y=0.812x−0.094
（2） 设被删除的数据点为(x10,y10)，由题意x10=x，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为x′、y′，
∴x′=19∑9i=1xi=19∑10i=1xi−x10=1910x−x=x=0.99，
y′=19∑9i=1yi=19(∑10i=1yi−y10)=19×(7.1−0.305)=0.755. 对于回归方程l2，b′=∑9i=1(xi−x′)(yi−y′)∑9i=1(xi−x′)2=∑10i=1(xi−x′)(yi−y′)−(x10−x′)(y10−y′)∑10i=1(xi−x′)2−(x10−x′)2
∵x10=x=x′，
∴b′=∑10i=1(xi−x′)(yi−y′)∑10i=1(xi−x′)2=∑10i=1xiyi−10xy′−10xy+10xy′∑10i=1xi2−10x2=∑10i=1xiyi−10xy∑10i=1xi2−10x2=b
∴斜率相等得证.∴a′=y′−b′x′≈−0.049
∴回归方程l2为y=0.812x−0.049
19．（1） 解：由题知f′(x)=ex−2ax−1，令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，
则g′(x)=ex−2a，
当a≤0时，g′(x)>0，f′(x)在区间(−∞,+∞)单调递增，
当a>0时，令g′(x)=0，解得x=ln2a，
当x∈(−∞,ln2a)时，g′(x)<0，
当x∈(ln2a,+∞)时，g′(x)>0，
所以f′(x)在区间(−∞,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,+∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f′(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增；
当a>0时，f′(x)在区间(−∞,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,+∞)上单调递增.
（2） 当a≤0时，f′(0)=0，
由（1）知，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
所以x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意；
当0由（1）知，当x∈(ln2a,0)时，f′(x)<0，f(x)在(ln2a,0)上单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
所以x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意；
当a=12时，ln2a=0，则当x∈(−∞,+∞)时，f′(x)≥0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
所以f(x)无极值点，不合题意；当a>12时，ln2a>0，且f′(0)=0；
当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,0)上单调递增；
当x∈(0,ln2a)时，f′(x)<0，f(x)在(0,ln2a)上单调递减；
所以x=0是函数f(x)的极大值点，符合题意；
综上所述，a的取值范围是a>12.
（3） 要证esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)<1，
只要证esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθ)+ln(csθ)只要证esinθ−1+lnsinθ因为θ∈(0,π2)，则sinθ∈(0,1)，csθ∈(0,1)，
所以只要证对任意0只要证对任意−1因为由（2）知：当a=1时，若x<0，则f(x)所以ex−x2−x<1，即ex令函数ℎ(x)=ln(1+x)−x(−1所以当−10，所以ℎ(x)在(−1,0)单调递增；
则ℎ(x)<ℎ(0)=0，即ln(1+x)由①+②得ex+ln(1+x)所以（※）成立，所以esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)<1成立.历史
物理
合计
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合计
10
40
50
a
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
2
4
6
P
59
2081
1681
命题人：张冉 审核人：张书霞
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|2x<4}，B={x∈N|−1
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
3．已知函数f(x)={2x+2−x,x≤3f(x2),x>3，则f(lg29)=
A．83B．103C．809D．829
4．已知f(x)=csx(x2+3x)(x+a)为奇函数，则a=
A．3B．−3C．0D．−1
5．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”，的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为
A．y=|x|4−x2B．y=x4−x2C．y=−x2+2|x|D．y=−x2+2x
6．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36B．40C．32D．42
7．已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>2f(x)，f(2)=e，则不等式f(x)>e2x−3的解集为
A．(−∞,2)B．(0,2)C．(2,+∞)D．(32,2)
8．若f(x)的定义域D为[0,+∞)，f(0)=1，且对∀x∈D，满足f(x+2)−f(x)≤2x，f(x+4)−f(x)≥5⋅2x，则下列结论中，一定正确的是
A．f(10)>342B．f(10)=342C．f(12)>1366D．f(12)=1366
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的是
A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题.
B．命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”的否定是假命题.
C．梯形ABCD等腰梯形的充要条件是AC=BD.
D．设a,b,c∈R，则a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
10．从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件A=“抽到K”，事件B=“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是
A．P(B|A)>(A)B．P(B|A)>P(B)C．P(B|A)+P(B|A)=1D．P(B|A)+P(B|A)=1
11．已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=f(x)+2x，f(0)=2，且y=f(x+1)−1为奇函数，则
A．f(−1)=−3B．函数y=f(x)+x的一个周期为4
C．f(2024)=−2022D．∑19i=1f(i)=−150
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．(x2+2y)(x2−y)7的展开式中x4y6的系数为 .（用数字作答）
13．已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y的最小值是 .
14．阅读材料：“在成功概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2+1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2+2).”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数f(x)=(x2−ax−a)ex在(0,f(0))处的切线平行于直线2x+y+3=0.
（1）求a的值；
（2）求f(x)的极值.
16．（15分）河南省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
（1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.
17．（15分）为迎接巴黎奥运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为p(p>0.5)，前两局中甲和乙各胜一局的概率为49.
（1）求p的值；
（2）设终止时比赛局数为X，求X的分布列与期望.
18．（17分）2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两.经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改.以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商販的部分数据：商贩称重重量为xi、执法人员称重重量为yi,（单位：kg）∑10i=1xi=9.9，∑10i=1yi=7.1.其他数据如下：∑10i=1xi2=12.408，∑10i=1xiyi=9.146.
（1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量y与商贩称重重量x之间的回归方程l1（a、b精确到0.001，下同）；
（2）经核实，数据点(0.99,0.305)严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算回归方程l2，证明：l1与l2斜率相等，并求回归方程l2.
参考公式与数据：回归直线y=bx+a中斜率的最小二乘法估计公式为：b=∑ni=1(xi−x)(yi−y)∑ni=1(xi−x)2=∑ni=1xiyi−nxy∑ni=1xi2−nx2，a=y−bx，21172607≈0.812.
19．（17分）已知函数f(x)=ex−ax2−x，f′(x)为f(x)的导数.
（1）讨论f′(x)的单调性.
（2）若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围.
（3）若θ∈(0,π2)，证明：esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)<1.
【参考答案】
安阳一中2023—2024学年第二学期期末考试
高二数学试题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BCD 10．AC 11．BC
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．−35
13．3+22
14．12
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（1） 解：由已知可得f′(x)=(2x−a)ex+(x2−ax−a)ex=(x2+2x−ax−2a)ex，
而直线2x+y+3=0的斜率为k=−2，所以f′(0)=−2a=−2⇒a=1；
（2） 由（1）得f(x)=(x2−x−1)⋅ex⇒f′(x)=ex⋅(x2+x−2)=ex⋅(x−1)(x+2)，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−2,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
故极大值为f(−2)=5e2，极小值为f(1)=−e.
16．（1） 解：零假设为H0：学生选择历史与性别无关联
将表中的数据带入，得倒χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(216−16)225×25×10×40=8.
∴χ2>7.879=x0.005.根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生选择历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.
（2） 法1：抽取的5名同学中，男生有3名，女生2名.设事件A为“选取2名同学担任正副组长中至少有一名女生”，则P(A)=1−C32C52=710(P(A)=1−A32A52=710).
法2：设事件M为“选取2名同学担任正副组长中至少有一名女生”，由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，其中至少有一名女生的情况有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共计有7种情况，所以P(M)=710.
17．（1） 解：由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为p，则乙在每局比赛中获胜的概率为1−p，所以2p(1−p)=49，解得p=23或p=13，又p>0.5，所以p=23.
（2） 依题意X的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率(23)2+(13)2=59，
该轮结束时比赛继续的概率为1−59=49.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X=2)=59，P(X=4)=49×59=2081，
P(X=6)=(49)2=1681，故X的分布列如下：
所以E(X)=2×59+4×2081+6×1681=26681.
18．（1） 解：由题意x=110∑10i=1xi=0.99，y=110∑10i=1yi=0.71
故b=∑10i=1xiyi−xy∑10i=1xi2−10x2=9.146−10×0.99×−10×0.992=≈0.812，a=y−bx≈0.094
因此回归方程l1为y=0.812x−0.094
（2） 设被删除的数据点为(x10,y10)，由题意x10=x，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为x′、y′，
∴x′=19∑9i=1xi=19∑10i=1xi−x10=1910x−x=x=0.99，
y′=19∑9i=1yi=19(∑10i=1yi−y10)=19×(7.1−0.305)=0.755. 对于回归方程l2，b′=∑9i=1(xi−x′)(yi−y′)∑9i=1(xi−x′)2=∑10i=1(xi−x′)(yi−y′)−(x10−x′)(y10−y′)∑10i=1(xi−x′)2−(x10−x′)2
∵x10=x=x′，
∴b′=∑10i=1(xi−x′)(yi−y′)∑10i=1(xi−x′)2=∑10i=1xiyi−10xy′−10xy+10xy′∑10i=1xi2−10x2=∑10i=1xiyi−10xy∑10i=1xi2−10x2=b
∴斜率相等得证.∴a′=y′−b′x′≈−0.049
∴回归方程l2为y=0.812x−0.049
19．（1） 解：由题知f′(x)=ex−2ax−1，令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，
则g′(x)=ex−2a，
当a≤0时，g′(x)>0，f′(x)在区间(−∞,+∞)单调递增，
当a>0时，令g′(x)=0，解得x=ln2a，
当x∈(−∞,ln2a)时，g′(x)<0，
当x∈(ln2a,+∞)时，g′(x)>0，
所以f′(x)在区间(−∞,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,+∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f′(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增；
当a>0时，f′(x)在区间(−∞,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,+∞)上单调递增.
（2） 当a≤0时，f′(0)=0，
由（1）知，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
所以x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意；
当0
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
所以x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意；
当a=12时，ln2a=0，则当x∈(−∞,+∞)时，f′(x)≥0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
所以f(x)无极值点，不合题意；当a>12时，ln2a>0，且f′(0)=0；
当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,0)上单调递增；
当x∈(0,ln2a)时，f′(x)<0，f(x)在(0,ln2a)上单调递减；
所以x=0是函数f(x)的极大值点，符合题意；
综上所述，a的取值范围是a>12.
（3） 要证esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)<1，
只要证esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθ)+ln(csθ)
所以只要证对任意0
则ℎ(x)<ℎ(0)=0，即ln(1+x)
物理
合计
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合计
10
40
50
a
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
2
4
6
P
59
2081
1681
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