广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.-2B.-1C.1D.2
3．在等差数列中,已知,,则等于( )
A.40B.42C.43D.45
4．的展开式中常数项是( )
A.14B.C.42D.
5．在正三棱柱中,若,,则点A到平面的距离为( )
A.B.C.D.
6．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.若,则角C的大小为( )
A.B.C.D.
7．设点A,B在曲线上.若的中点坐标为,则( )
A.6B.C.D.
8．已知函数在区间恰有6个零点,若,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评,具体打分如下表（满分100分）.设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个,至多1个超过平均分”,事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个,恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是( )
A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C.乙机构测评分数的中位数为92.5
D.事件M,N互为对立事件
10．设公比为q的等比数列的前n项积为,若,则( )
A.B.当时,
C.D.
11．在平面直角坐标系中,动点的轨迹为曲线C,且动点到两个定点,的距离之积等于3.则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于y轴对称B.曲线C的方程为
C.面积的最大值D.的取值范围为
三、填空题
12．双曲线的一个焦点是,则_______________.
13．若点关于y轴对称点为,写出的一个取值为_______________.
14．已知函数的定义域为,对于,恒有,且满足,,则______________.
四、解答题
15．已知函数在点处的切线与直线相互垂直.
(1)求实数a的值;
(2)求的单调区间和极值.
16．某企业举行招聘考试,共有1000人参加,分为初试和复试,初试成绩总分100分,初试通过后参加复试.
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布,其中,,试估计初试成绩不低于75分的人数;（精确到个位数）
(2)复试共三道题,每答对一题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y,求Y的分布列及期望.
附：若随机变量X服从正态分布,则：,,.
17．在三棱锥中,平面,,,D,E分别为线段,上的点,且,.
(1)证明：平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图,已知椭圆和抛物线,的焦点F是的上顶点,过F的直线交于M、N两点,连接、并延长之,分别交于A、B两点,连接,设、的面积分别为、.
(1)求p的值;
(2)求的值;
(3)求的取值范围.
19．如果数列对任意的,,则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由;
(2)若数列为“速增数列”.且任意项,,,,求正整数k的最大值;
(3)已知项数为的数列是“速增数列”,且的所有项的和等于k,若,,证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得,即,由,得,即,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题设有,故,故,
故选：D.
3．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,
因为,,所以,
则.
故选：B.
4．答案：A
解析：展开式的通项为,
由,得,那么展开式中常数项是.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为在正三棱柱中,若,,
所以,,
所以,
设点A到平面的距离为d,
因为,
所以,
所以,得.
故选：A.
6．答案：C
解析：在中,由,,,得,
整理得,由余弦定理得,而,
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：设,,
因为的中点坐标为,可得,
整理得,,解得,或,,
不妨设,,所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：函数,由,得或,
解得的正零点为或,,
则函数从左到右的零点依次为：,,,,,,
为了使得在区间恰有6个零点,只需,解得,
所以实数的取值范围为.
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A,甲机构测评分数的平均分,
乙机构测评分数的平均分,A错误;
对于B,甲机构测评分数的方差,
乙机构测评分数的方差,B正确;
对于C,乙机构测评分数从小排到大为：91,92,93,94,95,乙机构测评分数的中位数为93,C错误;
对于D,由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分,事件不可能同时发生,
但必有一个发生,因此事件M,N互为对立事件,D正确.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：A选项：因为,所以,所以A不正确;
B选项：因为,,则,所以,所以,所以B正确;
C选项：因为,所以,所以,所以C正确;
D选项：,当且仅当时,等号成立.所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：对于B,依题意,,整理得,
因此曲线C的方程为,B正确;
对于A,方程中的x换成方程不变,因此曲线C关于y轴对称,A正确;
对于C,显然,则,解得：,
令,则,即,
的面积,C错误;
对于D,,因此的取值范围为,D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：双曲线方程为,依题意,,所以.
故答案为：.
13．答案：（满足,即可）
解析：与关于y轴对称,
即,关于y轴对称,
,,
则,,
当时,可取的一个值为.
故答案为：（满足,即可）.
14．答案：
解析：函数的定义域为,由,得,即,
又,由,得,解得,则,
于是,由对于,恒有,得当时,,
因此,
而,即有,所以.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2)增区间为,减区间为,极小值,无极大值.
解析：(1)因为,在点处的切线斜率为,
又在点处的切线与直线相互垂直,
所以,解得.
(2)由（1）得,,,
令,得,令,得,
即的增区间为,减区间为.
又,
所以在处取得极小值,无极大值.
16．答案：(1)159;
(2)分布列见解析,期望为19.5.
解析：(1)由学生初试成绩X服从正态分布,其中,,得,
因此,
所以估计初试成绩不低于的人数为人.
(2)Y的可能取值为0,10,20,30,
则,,
,,
所以Y的分布列为：
数学期望为.
17．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)由平面,平面,得,
由,得为等腰直角三角形,即,
又,且面,面,
所以平面.
(2)在三棱锥中,取中点F,连接,由（1）知,,,
而,于是,,则
显然直线,,两两垂直,以点C为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
,,,
设平面的法向量为,则,令,得.
由平面,则平面的法向量为,设平面与平面夹角为,
因此,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2)-3
(3)
解析：(1)椭圆的上顶点坐标为,
则抛物线的焦点为,故.
(2)若直线与y轴重合,则该直线与抛物线只有一个公共点,不符合题意,
所以直线的斜率存在,设直线的方程为,点、,
联立可得,恒成立,则,
.
(3)设直线、的斜率分别为、,其中,,
联立可得,解得,
点A在第三象限,则,
点B在第四象限,同理可得,
且
,
当且仅当时,等号成立.
的取值范围为.
19．答案：(1)是,理由见解析
(2)63
(3)证明见解析
解析：(1)因为,则,,
又,故,数列是“速增数列”.
(2),,,
当时,,
即,,
当时,,当时,,
故正整数k的最大值为63.
(3),故,即;
,故,
即,
同理可得：,,,
故,
故,,得证.
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94
Y
0
10
20
30
P