江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数是纯虚数,则实数a的值为( )
A.0B.1C.-1D.
2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,若,则( )
A.B.C.D.
5．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )
A.B.C.D.
6．若,则( )
A.B.C.D.
7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O的正东方向A处,测得旗杆顶端P的仰角为,在A的南偏西方向上的B处,测得P的仰角为（O,A,B在同一水平面内）,A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为（,）( )
A.10mB.14mC.17mD.20m
8．在锐角三角形ABC中,,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．下列命题为真命题的是( )
A.若,则为直角三角形
B.若,则为等腰三角形
C.若,则为等腰三角形
D.若,则为等腰直角三角形
10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,则D.若,,,则
11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”,“两个球标号的和为奇数”,“两个球标号都不小于2”,则( )
A.A与B互斥B.A与C相互独立
C.D.
三、填空题
12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．
13．已知向量,满足,向量在上的投影向量为,则______________．
四、双空题
14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多面体,已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为___________,其面数为____________．
五、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．
（1）求B;
（2）若,求．
16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．
（1）证明：;
（2）证明：平面．
17．某班学生日睡眠时间（单位：h）频率分布表如下：
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;
（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．
18．已知的面积为9,点D在BC边上,．
（1）若,,
①证明：;
②求AC;
（2）若,求AD的最小值．
19．如图,等腰梯形ABCD为圆台的轴截面,E,F分别为上下底面圆周上的点,且B,E,D,F四点共面．
（1）证明：;
（2）已知,,四棱锥的体积为3．
①求三棱锥的体积;
②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意,复数是纯虚数,
所以且,解得.
故选：A.
2．答案：D
解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.
故选：D.
3．答案：B
解析：根据题意圆锥的母线长,代入
即可求得．
故选：B.
4．答案：B
解析：因为,所以,即
所以,所以
所以,
故选：B.
5．答案：C
解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A,B,C,
从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,
共10种情况．
选中的水果品种相同的选法有：,,,有4种．
所以选中的水果品种相同概率为：．
故选：C.
6．答案：B
解析：令,,则,
令,则
所以
故选：B.
7．答案：C
解析：如图,设米,则米,米.
在中,由题意可得,,
由余弦定理可得,
解得米.
故选：C.
8．答案：A
解析：因为,
所以
所以,又三角形ABC为锐角三角形,所以,
所以
又因为三角形ABC为锐角三角形,所以
所以
所以,
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对于A,若,由正弦定理得,所以,所以为直角三角形,故A正确;
对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,故B正确;
对于C,若,由正弦定理得,即,
所以或,即或,则是等腰或直角三角形,故C错误;
对于D,若,由正弦定理得,所以,,即,,所以为等腰直角三角形,故D正确;
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：对于A选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a,b两条直线可以平行,也可以相交,故A错误;
对于B选项,这是线面平行的性质定理,故B正确;
对于C选项,这是面面垂直的判定定理,故C正确;
对于D项,设,,过平面内一点A,分别作,,如图所示,
因为,,,,所以,
又因为,所以,同理：,
又因为,、,
所以,故D项正确.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,
则,
,
,
所以有,,
,,
对于A,,事件A、B可以同时发生,则A、B不互斥,A错误;
对于B,,A、C相互独立,B正确;
对于C,,C正确;
对于D,,D错误．
故选：BC．
12．答案：11
解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据
,
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,
故答案为：11.
13．答案：2
解析：由已知向量在上的投影向量为,则,
又因为即,所以.
所以
故答案为：2.
14．答案：①.16②.12
解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,
取底面中心O,中点E,
因为平面,平面,所以,
又,,,平面,
所以平面,则,
所以,
从而该多面体的体积为,
考虑到四棱锥的侧面夹角为,其面数为.
故答案为：16;12.
15．答案：（1）
（2）-2
解析：（1）,
故,
因,所以;
（2）设,,代入中,
,故,解得,
由余弦定理得,
则,
故.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）连接,交于点O,由四边形是菱形得,
因为平面,平面,
所以,
因为,,,,平面,
所以平面,又平面,
所以．
（2）连接,,
因为四边形是菱形,所以点O为,中点,
又E,F分别是棱,的中点,
所以,,
因为平面,平面,
所以平面,同理可得平面,
因为,平面,且,
所以平面平面,又平面,
所以平面．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为容量,
所以,,
所以该班学生的平均日睡眠时间为
;
（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,
由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,
记中抽取的2人为a,b,中抽取的3人为c,d,e,
设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A,
则,
,
所以A发生的概率,
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率为.
18．答案：（1）证明见解析,
（2）4
解析：（1）①因为,,所以,
在中,由正弦定理可得,
所以;
②设,则,
因为,所以,
设,因为,所以,
在中,,
由①知,
所以,
所以,
整理得,又因为,,
所以,
因为,所以,
在中,因为,,
所以,所以,
则,
所以;
（2）记的内角为A,B,C,所对边为a,b,c,
因为,
所以,
所以,
在中,因为,
所以由余弦定理可得,
整理得,,
因为,所以,
所以,
所以
,
当且仅当,时取等号,
所以AD的最小值为4.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①;②．
解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,
因为平面平面,平面平面,
所以;
（2）①将圆台的母线延长交于一点P,
连接,延长交底面于点Q,连接,,
在圆台中,平面平面,
因为平面平面,平面平面,所以,
又由（1）可知,所以,
又,,,,,平面,
所以,所以四边形为平行四边形,所以,
在圆台中,,,
所以,所以,
所以,所以,
连接,交于点T,所以,
所以A,C到平面的距离之比,
所以;
②在等腰梯形中,过点D作边的垂线,垂足为G,
在平面内过点G作的平行线交于点H,连接,
易得,因为平面,所以平面,
所以为母线与下底面所成角,
因为,,所以,所以,
要使最小,只要最小即可,
因为,所以,所以,
设,因为为圆的直径,所以,
所以,,所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为,
因为,,所以,
因为平面,平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
所以,因此为二面角的平面角,
在中,因为,所以,
因为平面,平面,所以,
在中,由勾股定理得,所以,
所以二面角的正弦值为．
分组
频数
4
x
20
y
频率
a
b
0.4
0.12