江西省吉安市多校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市多校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数列-4，-7，-10,13，…的一个通项公式为( )
A.B.C.D.
2．对于变量x，y有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量x与y成负相关的是( )
A.B.
C.D.
3．已知等比数列满足，，则数列前7项的和为( )
A.256B.255C.128D.127
4．已知随机变量，则( )
注：若，则，.
5．已知，是椭圆的左､右焦点，P为上一点，则的最小值为( )
A.1B.C.2D.4
6．已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是( )
A.4B.5C.6D.7
7．已知，，数列的前n项和为，则( )
A.8096B.8094C.4048D.4047
8．将字母a，a，b，b，c，c放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数的均值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.公式中的S和R不具有线性相关关系
B.已知变量X，Y的n对数据为，，…，则回归直线可以不经过点，其中，
C.若相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.对于变量A与B的统计量来说，越大，判断“A与B有关系”的把握越大
10．已知随机事件A，B的对立事件分别为，，若，，则( )
A.
B.
C若A，B独立，则
D.若A，B互斥，则
11．已知数列满足，，数列的前n项和为，记，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
12．的展开式中的常数项为______.
13．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________.
14．已知数列的通项公式为，在和之间插入k个形成一个新数列，则的前2024项的和为__________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
16．如图1，在矩形中，，，点M，分别是，上一点，且，过点作于点C，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点D，连接，，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，点A，B分别在x轴和y轴上运动，点A关于B的对称点为M.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点C的直线l与点M的轨迹交于P，Q两点，，求直线，的斜率之和.
18．某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意.
（1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
19．冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同､相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域､核安全领域､航空领域､煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若，求；
（2）已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求p的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是.故选B.
2．答案：B
解析：A：各点分布没有明显相关性，不符；
B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；
C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；
D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.
故选：B.
3．答案：D
解析：设等比数列的公比为q，因为，，
可得解得，，
所以数列前7项的和.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为，
，
所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为，是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故选：A.
6．答案：B
解析：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，由题可知圆的圆心为，半径，最短路程即为.故选：B.
7．答案：D
解析：由，，
得,
,
，
，
又，
所以，
所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：字母a，a，b，b，c，c放入的表格中的不同结果有种，
随机变量的可能的取值为0，1，3，
可得，，
则，
所以随机变量的期望为.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A选，公式中的S和R为二次函数关系，故不具有线性相关关系，A正确；
B选项，回归直线一定经过样本中心点，即，B错误；
C选项，若相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
D选项，对于变量A与B的统计量来说，越大，判断“A与B有关系”的把握越大，D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，若A，B独立，则，
所以，所以C正确，
对于D，若A，B互斥，则，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：因为数列满足，，
则，，A错；
因为，所以，
又因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，B对；
当时，，
当时，，
所以，故C正确；
当时，
，
当时，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：的展开式的通项公式，
当即时，，
故的展开式中的常数项为.
故答案为：.
13．答案：/
解析：设事件D为“这个人患流感”，事件，，分别表示这个人选自A，B，C三个地区，
则由已知得，，，
，，，
所以由全概率公式得
,
故答案为：.
14．答案：7891
解析：在数列中，在的前面的所有项的项数为，
当时，，即在的前面的所有项的项数为2015，又在与之间共有63个2，
所有数列的前2024项中包含数列的项有63项，中间插入2的数量为，
所有数列的前2024项和为.
故答案为：7891.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，
所以，
所以是公差为2的等差数列，
又，所以，解得，
所以.
（2）由（1）知，
.
又，所以.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意，，，两两互相垂直，如图以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
，所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）设平面的一个法向量，又，，
则，令，则，，
，又面的一个法向量为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）0
解析：（1）设，，，由点A关于B的对称点为M，得B为的中点，
所以，，
即，.
又，所以，即，
化简，得，
又A，B不重合，所以，，
故动点M的轨迹方程为.
（2）由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，，，
则，，
由，得，
所以，，，
所以.
18．答案：（1）列联表见解析；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联
（2）
解析：（1）依统计表可得列联表如下：
则，
故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联.
（2）男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则X为0，1，2，3.
则，
，
，
，
所以X的分布列为
故.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
.
（2）若控制系统增加2个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立.
由，当时，所以，所以p的取值范围是.
评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
X
0
1
2
3
P