许昌高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷(含答案)

这是一份许昌高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知角终边上一点,若,则实数m的值为( )
A.1B.2C.D.
2．已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根,那么p,q的值分别是( ).
A.,B.,C.,D.,
3．已知,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．如图,为水平放置的的直观图,其中,,则在原平面图形中AC的长为( )
A.B.3C.D.
5．已知函数,要得到函数的图象,只需将的图象( )
A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度
6．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC,已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为,记,则的值为( )
A.B.C.0D.1
7．几何定理:以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点.在中,已知,,外接圆的半径为,现以其三边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为,,,则的面积为( )
A.3B.2C.D.
8．如图（1）所示,已知球的体积为,底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得,如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中,下列结论中正确的是( )
A.CD与BE是异面直线
B.异面直线AB与CD所成角的大小为
C.由A,B,C三点确定的平面截球所得的截面面积为
D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为
二、多项选择题
9．已知m,n为两条不同的直线,,两个不同的平面,且,,则( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10．若函数的图象经过点,则( )
A.函数的最小正周期为
B.点为函数图象的对称中心
C.直线为函数图象的对称轴
D.函数的单调增区间为
11．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,则( )
A.
B.若,则的周长的最大值为
C.若D为AC的中点,且,则的面积的最大值为
D.若角B的平分线BD与边AC相交于点D,且,则的最小值为9
三、填空题
12．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为_____________.
13．已知非零向量与满足，且，，点D是的边AB上的动点，则的最小值为__________.
14．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为__________.
四、解答题
15．在复平面内,点A,B对应的复数分别是,（其中i是虚数单位）,设向量对应的复数为Z.
（1）求复数Z;
（2）求;
（3）若,且是纯虚数,求实数m的值.
16．锐角中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小;
（2）若,求的取值范围.
17．如图,已知是边长为2的正三角形,P在边BC上,且,Q为线段AP上一点.
（1）若,求实数的值;
（2）求的最小值;
（3）当的重心在直线CQ上时,求的余弦值.
18．已知函数仅满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为;
②最大值为2;
③;
④.
（1）请找出函数满足的三个条件,并说明理由和求出函数的解析式;
（2）若函数在处取得最大值,求实数n的值及的值域;
（3）若函数在上的最大值比最小值大1,求实数t的值.
19．在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,.
（1）证明:
（2）若,,当PA与平面PBC所成角的正弦值最大时,求四棱锥的体积.
参考答案
1．答案：C
解析：由三角函数定义可得,解得.
2．答案：A
解析：由题意可知,,
则,
即,得,.
3．答案：D
解析：.
4．答案：C
解析：在直观图 中,,,取 中点D,连接,
则, 而,于是,,
由斜二测画法规则作出,如图,
则,,,,
,,,
显然,AD正确,BC错误.
故选：AD.
5．答案：D
解析：,
,
故将的图象向右平移个单位长度可得,即为的图象.
6．答案：A
解析：以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为:,,
由面积之比为,得:,即,
在中,,则,
7．答案：C
解析：中,,故,,
故,,,
外接圆圆心为对应等边三角形的中心,如图所示,连接,,
则,故,
,,故,
,,则,
根据对称性知:,故为等边三角形,
其面积.
8．答案：C
解析：取DF,EF中点N,M,连接AB,BC,AC,BM,MN,CN,如图,
因为正三角形,则,而平面平面DFE,平面平面,平面BEF,
于是得平面DFE,同理平面DFE,即,,
因此,四边形BCNM是平行四边形,有,则直线CD与BE在同一平面内,A不正确;
由选项A,同理可得,则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角,B不正确;
由选项A知,,同理可得,正外接圆半径,
由A,B,C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆,此截面面积为,C正确;
体积为的球半径R,由得,由选项C知,球心到平面ABC的距离,
由选项A,同理可得点A到平面DFE的距离为,即平面与平面DFE的距离为,
所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为,D不正确.
9．答案：AC
解析：对于A,由面面垂直的判定定理即可判断,故A正确;
对于B,若,,可得直线m与直线n可能平行,相交,异面,故B错误;
对于C,若,又则,故C正确;
对于D,若,,则或,故D错误;
10．答案：AC
解析：因为函数的图象经过点,则,
因为,所以,,则.
对于A选项,函数的最小正周期为,A对;
对于B选项,,故点不是函数图象的对称中心,B错;
对于C选项,,故直线为函数图象的对称轴,C对;
对于D选项,由得,
因此,函数的单调增区间为,D错.
11．答案：ACD
解析：因为,所以,
因为,所以,,
则,因为,所以,故A正确;
若,则的外接圆半径为:,
,,,,周长的最大值为9,故B错误;
因为D为AC的中点,且,所以,
则,所以,当且仅当时,等号成立,所以,故C正确;
由题意得:,即,即,即,
所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;
12．答案：
解析：由题可得在直角中,,,所以,
在中,,,
所以,
所以由正弦定理可得,所以,
则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：.
13．答案：
解析：，分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，又，故的平分线与BC垂直，由三线合一得到，取BC的中点E，因为，，故，如图，以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设，，则，当时，取得最小值，最小值为.
14．答案：
解析：如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为,
两圆锥公共底面圆周上一点A，底面半径,
设球心为O，球的半径,
,,
,,,,
,,,
,,
,
,
,
,
即球的体积为.
15．答案：（1）
（2）
（3）-1
解析：（1）因为点A,B对应的复数分别是,,所以,,
所以,故.
（2）因为,所以
.
（3）因为,所以,
由是纯虚数,可知且,解得.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得,即,
由余弦定理可得,又,则;
（2）由,则,,
则
,
由为锐角三角形,可得,解得,
则,则,
故.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）以BC中点O为原点建立直角坐标系,如下图所示:
则,,,,
由于Q为线段AP上一点,设,
,即,
可得,即,因此,
则,,,,
由可得,可得,
解出;
（2）由（1）知,,
则,,
由二次函数易知,当时,
最小;
（3）由（1）可知,,
因为为正三角形,且CQ为其中线,因此,
即,解出,
此时,,
在中,利用余弦定理知,
则的余弦值为.
18．答案：（1）理由见解析,
（2）,值域为
（3）
解析：（1）,因为,,所以,与矛盾,
所以③不成立,则满足条件的三个条件为①②④,
由②可知,,由①可知,,
,,则,
所以;
（2）由（1）可知,,
由题意可知,,
即,得,
,
所以函数的值域是;
（3）,,则,
,当时,得,,,
所以在区间上,函数的最大值为2,最小值为1,
则,得.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,连接BD,设,连接PO,
因为平面ABCD,平面ABCD,故,
而,,PB,平面PBD,
故平面PBD,而平面PBD,故,
由四边形ABCD为平行四边形可得,
故为等腰三角形,即;
（2）设,,
由（1）可得平面PDB,而平面PDB,故,
故四边形ABCD为菱形,而,故,
因为平面ABCD,平面ABCD,故,
故,同理,
而,故,
设d为点A到平面PBC的距离,PA与平面PBC所成的角为,,
故,
又,
而,
故,故,
故,
当且仅当即时等号成立,所以,
故此时.