[数学]四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学]四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知椭圆的方程为，则其焦距为（ ）
A B. 6C. D.
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程为，所以、，所以，
所以，则焦距为；
故选：C
2. 已知空间向量，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】，解得.
故选：D
3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵直线的斜率，
∴所求直线斜率，故直线方程为，即．
故选：B．
4. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
【答案】B
【解析】据已知得：，所以，
故选B
5. 某大学足球俱乐部技术组要对中女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从这6名球员中随机选2名球员,共有种选法，
随机选的2名球员，恰有1名球员提前做好采访准备,共有种选法，
则若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为，
故选：.
6. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．故选：A.
7. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.
8. 如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，
∵ABCD为平行四边形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】取的中点，连接，，∴，，
，平面，
所以平面，又平面，所以，则，故A正确；
因为，故B正确；
∵，，
又，，
所以，故C正确；
因为，
所以，故D不正确，
故选：ABC.
10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 的面积为1
C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2
D. 以为直径的圆的方程为
【答案】AB
【解析】对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；
对于B，由双曲线，可得，则，设，则，
所以，得，
因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误，
故选：AB
11. 已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 实数k的取值范围是
B. 实数k的取值范围是
C. 当圆的周长最大时，圆心坐标是
D. 圆的最大面积是π
【答案】ACD
【解析】将圆的方程为化为标准式为，
由，解得，故A正确，B错误；
当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，
此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确；
故选：ACD
12. 正四棱柱，底面边长为，侧棱长为2，则下列结论正确的（ ）
A. 点到平面的距离是．
B. 四棱锥内切球的表面积为．
C. 平面与平面垂直．
D. 点为线段上的两点，且，点为面内的点，若，则点的轨迹长为．
【答案】AC
【解析】对于A：设点到平面的距离为，

，，
，，
又，所以，解得，故A正确；
对于B：

，，
，，
设内切球的半径为，则，解得，故B错误；
对于C：设底面中心为，连接交于，则为线段中点，

则，，所以为面与面所成角的平面角，
在中，，，∴，
所以平面与平面垂直，故C正确；
对于D，设底面中心为，底面中心为，分别以直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设点，又，
由得，，整理得，
所以点轨迹为圆在面内的部分（如下图），
因为，，，显然，所以，
即，

所以的弧长不为，即点的轨迹长不为，故D错误.
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________．
【答案】1
【解析】由已知可得，
过点，的直线的斜率，解得，
故答案为： .
14. 某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．
【答案】
【解析】由题意知，故双曲线的标准方程为或，分别将代入，得双曲线的标准方程为，故离心率为．
15. 若各项均为正数的数列满足，，且是与的等差中项（，），则___________.
【答案】
【解析】由（，），
可得数列是等差数列，其公差，首项，
所以，，所以.
故答案为：．
16. 已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由题意，，
已知焦点到渐近线的距离为3，
由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又离心率为2，
∴，解得，
∴，
∴双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，且，，，
由，即，
得，即，
由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），
在中，，
由于直线与双曲线的右支交于两点，
且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，
∴的范围是，
当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.
故答案为：.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.
17. 在等差数列中，．
（1）求数列的首项和公差d；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值．
解：（1）依题意.
（2）由（1）得，由解得，
所以的最小值为.
18. 在平面直角坐标系中，已知点，圆：.
（1）过点M作圆C切线，求切线的方程；
（2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长.
解：（1）很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，即，
圆心到直线的距离，
满足题意时有：，解得：，
则此时的直线方程为：，即，
综上可得，直线方程为：或.
（2）圆心到直线的距离：，
则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：.
19.
城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求．某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）．
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查．
①列出所有可能的结果；
②求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
解：（1）样本中候车时间少于10分钟的人数为8人，
所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为人
（2）①将第三组的人编号为a,b,c,d，第四组的人编号为e,f，则从第三、四组的6人中任选2人有（a,b）
（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）,（e,f）共15种
②抽到两人恰好来自不同组的情况有（a,e）,（a,f）,（b,e）,（b,f）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）共8种，抽到的两人恰好来自不同组的概率为
20. 在如图的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1），，
．
又，是的中点，
且，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，
平面．
（2）平面，平面，平面，
，，
又，，，两两垂直．
以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由已知得，0，，，0，，，4，，，3，，，2，，，2，，
由已知得，0，是平面的法向量，
设平面的法向量，，，
，，，，1，，
，令，则，，所以，2，．
设二面角的平面角为，
则．易知二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为．
21. 已知椭圆：过点与点．
（1）求椭圆的方程；：
（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求取值范围及面积的最大值．
解：（1）由得．
∴椭圆的方程为．
（2）由题意设直线的方程为，
由消去得，，
∴，即，①
且，，
∴线段中点的横坐标，纵坐标．
将，代入直线方程可得，，②
由①，②可得，，又，
∴
又，
且原点到直线的距离，
∴，
∴时，最大值为．
此时，，∴时，取得最大值．
22. 已知抛物线的焦点也是离心率为的椭圆的一个焦点F．
（1）求抛物线与椭圆的标准方程；
（2）设过F的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设，，．
①当时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
②若存在直线，使得a，b，c成等差数列，求的范围．
解：（1）抛物线的焦点，椭圆的焦点，由于，
即，
则有，因此，，，
故椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程是．
（2）①设l：，，，，，，
将直线与抛物线联立，则有，，
，则，
于是，
将直线与椭圆联立，则有，
得到二次方程，，则有，
则，
，
，
假设存在直线l，使得a，b，c成等差数列，即
即有，
整理得到，方程无解，因此不存在l满足题设．
②只需使得方程有解即可．
整理得到，故，
解得
组别
一
二
三
四
五
候车
时间
[0，5）
[5，10）
[10，15）
[15，20）
[20，25]
人数
2
6
4
2
l