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2024-2025学年度北师版八上数学-专题1-勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用【课外培优课件】
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第二章 实 数专题1 勾股定理及其逆定理在几何图形中的应用 1. 在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°.若 AB ＝8， BC ＝6，则 AC 的长是（ B ）B2. 如图，将长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端 A 和 B ，然后把中点 C 向上拉升6cm至点 D ，则橡皮筋被拉长了 （ A ）A3. 如图，正方形 ABCD 的顶点 A ， D 在数轴上，且点 A 表示的 数为－1，点 D 表示的数为0.若用圆规在数轴上截取 AE ＝ AC ， 则点 E 所表示的数为（ C ）C4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，作 AC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D ，连接 AD . 若 AB ＝3， BC ＝9，则 BD 的长为 .4 5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝6cm， BC ＝ 8cm.现将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的长为 cm.5 6. 如图，某自动感应门的正上方点 A 处装着一个感应器，离地 面的高度 AB 为2.5m.一名学生站在点 C 处时，感应门自动打开 了，此时这名学生离感应门的距离 BC 为1.2m，头顶离感应器 的距离 AD 为1.5m，则这名学生的身高 CD 为 m.1.6 7. 如图，某开发区有一块四边形空地 ABCD . 现计划在该空地 上种植草皮，经测量，∠ ADC ＝90°， CD ＝3m， AD ＝4m， BC ＝12m， AB ＝13m.若每平方米草皮需300元，则在该空地上 种植草皮共需多少元？解：如图，连接 AC . 在Rt△ ACD 中，根据勾股定理，得 在△ ABC 中， AB2＝132， BC2＝122.又因为52＋122＝132，所以 AC2＋ BC2＝ AB2.所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. ＝24（m2）.因为每平方米草皮需300元，所以在该空地上种植草皮共需24×300＝7 200（元）.8. 如图，将长方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处， FC 交 AD 于点 E . （1）试说明：△ AFE ≌△ CDE ；（2）若 AB ＝4， BC ＝8，求图中阴影部分的面积. 9. 如图，在2×4的正方形网格中，△ ABC 的顶点都在小正方形 的顶点上，则点 A 到 BC 的距离等于 . 10. 如图，在正方形网格中，点 A ， B ， P 是网格线的交点，则 ∠ PAB ＋∠ PBA ＝ °.答图45 【解析】如答图，延长 AP 交网格线于点 D ，连接 BD ，交网格 线于点 C ，可知点 D 在网格线交点处. PD2＝ BD2＝12＋22＝5， PB2＝12＋32＝10，所以 PD2＋ BD2＝ PB2.所以△ BDP 是直角三 角形，且∠ PDB ＝90°.又因为 PD ＝ BD ，所以△ PBD 是等腰 直角三角形.所以∠ DPB ＝45°.因为 PC ∥ AB ，所以∠ PAB ＝ ∠ DPC ，∠ PBA ＝∠ CPB . 所以∠ PAB ＋∠ PBA ＝∠ DPC ＋∠ CPB ＝∠ DPB ＝45°.故答案为45.答图11. 如图，在一个长9cm、宽5cm的长方形纸片 ABCD 的中间位 置，放置一根正三棱柱的木块.木块的侧棱平行于 AD 且大于纸 片的宽 AD ，底面是边长为1cm的等边三角形.一只蚂蚁从点 A 处 爬行到点 C 处，求它爬行的最短路程.解：如图，将整个图形向上的一面展开到同一个平面中，中间 两个长方形表示三棱柱两个侧面的展开图.则蚂蚁爬行的最短路线为线段 AC . 在Rt△ ABC 中， AB ＝4＋1＋1＋4＝10（cm）， BC ＝5cm， 12. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点， 将△ ADE 沿 AE 折叠至△ AFE ，延长 EF 交 BC 于点 G ，连接 AG ，且 AG 平分∠ BAF ，求 BG 的长. 所以△ ABG ≌△ AFG （ASA）.所以 BG ＝ FG . 设 BG ＝ FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为点 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ EF ＝ DE ＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中， CE2＋ CG2＝ EG2，所以32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，解得 x ＝2.所以 BG 的长为2. （2）如图，Rt△ ABC 有 a2＋ b2＝ c2.①由Rt△ ABC 是“平方倍三角形”，设 c2＋ b2＝3 a2.②把①代入②，得 a2＋ b2＋ b2＝3 a2，即 a2＝ b2.所以 a ＝ b . 演示完毕 谢谢观看
第二章 实 数专题1 勾股定理及其逆定理在几何图形中的应用 1. 在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°.若 AB ＝8， BC ＝6，则 AC 的长是（ B ）B2. 如图，将长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端 A 和 B ，然后把中点 C 向上拉升6cm至点 D ，则橡皮筋被拉长了 （ A ）A3. 如图，正方形 ABCD 的顶点 A ， D 在数轴上，且点 A 表示的 数为－1，点 D 表示的数为0.若用圆规在数轴上截取 AE ＝ AC ， 则点 E 所表示的数为（ C ）C4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，作 AC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D ，连接 AD . 若 AB ＝3， BC ＝9，则 BD 的长为 .4 5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝6cm， BC ＝ 8cm.现将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的长为 cm.5 6. 如图，某自动感应门的正上方点 A 处装着一个感应器，离地 面的高度 AB 为2.5m.一名学生站在点 C 处时，感应门自动打开 了，此时这名学生离感应门的距离 BC 为1.2m，头顶离感应器 的距离 AD 为1.5m，则这名学生的身高 CD 为 m.1.6 7. 如图，某开发区有一块四边形空地 ABCD . 现计划在该空地 上种植草皮，经测量，∠ ADC ＝90°， CD ＝3m， AD ＝4m， BC ＝12m， AB ＝13m.若每平方米草皮需300元，则在该空地上 种植草皮共需多少元？解：如图，连接 AC . 在Rt△ ACD 中，根据勾股定理，得 在△ ABC 中， AB2＝132， BC2＝122.又因为52＋122＝132，所以 AC2＋ BC2＝ AB2.所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. ＝24（m2）.因为每平方米草皮需300元，所以在该空地上种植草皮共需24×300＝7 200（元）.8. 如图，将长方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处， FC 交 AD 于点 E . （1）试说明：△ AFE ≌△ CDE ；（2）若 AB ＝4， BC ＝8，求图中阴影部分的面积. 9. 如图，在2×4的正方形网格中，△ ABC 的顶点都在小正方形 的顶点上，则点 A 到 BC 的距离等于 . 10. 如图，在正方形网格中，点 A ， B ， P 是网格线的交点，则 ∠ PAB ＋∠ PBA ＝ °.答图45 【解析】如答图，延长 AP 交网格线于点 D ，连接 BD ，交网格 线于点 C ，可知点 D 在网格线交点处. PD2＝ BD2＝12＋22＝5， PB2＝12＋32＝10，所以 PD2＋ BD2＝ PB2.所以△ BDP 是直角三 角形，且∠ PDB ＝90°.又因为 PD ＝ BD ，所以△ PBD 是等腰 直角三角形.所以∠ DPB ＝45°.因为 PC ∥ AB ，所以∠ PAB ＝ ∠ DPC ，∠ PBA ＝∠ CPB . 所以∠ PAB ＋∠ PBA ＝∠ DPC ＋∠ CPB ＝∠ DPB ＝45°.故答案为45.答图11. 如图，在一个长9cm、宽5cm的长方形纸片 ABCD 的中间位 置，放置一根正三棱柱的木块.木块的侧棱平行于 AD 且大于纸 片的宽 AD ，底面是边长为1cm的等边三角形.一只蚂蚁从点 A 处 爬行到点 C 处，求它爬行的最短路程.解：如图，将整个图形向上的一面展开到同一个平面中，中间 两个长方形表示三棱柱两个侧面的展开图.则蚂蚁爬行的最短路线为线段 AC . 在Rt△ ABC 中， AB ＝4＋1＋1＋4＝10（cm）， BC ＝5cm， 12. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点， 将△ ADE 沿 AE 折叠至△ AFE ，延长 EF 交 BC 于点 G ，连接 AG ，且 AG 平分∠ BAF ，求 BG 的长. 所以△ ABG ≌△ AFG （ASA）.所以 BG ＝ FG . 设 BG ＝ FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为点 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ EF ＝ DE ＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中， CE2＋ CG2＝ EG2，所以32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，解得 x ＝2.所以 BG 的长为2. （2）如图，Rt△ ABC 有 a2＋ b2＝ c2.①由Rt△ ABC 是“平方倍三角形”，设 c2＋ b2＝3 a2.②把①代入②，得 a2＋ b2＋ b2＝3 a2，即 a2＝ b2.所以 a ＝ b . 演示完毕 谢谢观看
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