2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-求通项公式【课件】

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模型一形如an+1=pan+q[例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2 025等于(　　)A.22 024-1　B.42 024-1 C.22 024+1　D.42 024+1【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2),所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.所以an=4n-1-1,所以a2 025=42 024-1.
解题技法形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;第②步:由待定系数法,求出x,y的值;第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式;第④步:写出数列{an}的通项公式.
模型三形如an+1=pan+qn[例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　 　　　. 【解析】方法一:原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①比较系数得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列,所以an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.
4·3n-1-5·2n-1
(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则an=　　　　　　　　　. 【解析】因为an=2an-1+3an-2(n≥3),所以an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,所以{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2①,n≥2,又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),a2-3a1=-13,所以{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2,
解题技法形如an+1=pan+qan-1(其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2)第①步:假设将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1);第②步:利用待定系数法,求出s,t的值;第③步:求数列{an+1+san}的通项公式;第④步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式.