2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节 基本不等式-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节 基本不等式-课时作业【含解析】，共10页。
1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A.a＜b＜ab＜a＋b2B.a＜ab＜a＋b2＜b
C.a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b
2.若x＜0，则关于x＋1x下列结论正确的是（ ）
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
3.（2024·江西南昌）若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是（ ）
A.x＝yB.x＝2y
C.x＝2且y＝1D.x＝y或y＝1
4.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1y的最小值为（ ）
A.3B.4
C.5D.6
5.（2024·河北邢台）已知正数a，b满足3a＋1b＝1，则3a＋b的最小值为（ ）
A.13B.16
C.9D.12
6.已知a，b∈正实数，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为（ ）
A.16B.32
C.64D.128
7.（多选）若x≥y，则下列不等式中正确的是（ ）
A.2x≥2yB.x＋y2≥xy
C.x2≥y2D.x2＋y2≥2xy
8.（多选）设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是（ ）
A.nm＋2n的最小值为2
B.mn的最大值为1
C.m＋n的最小值为2
D.m2＋n2的最小值为2
9.已知函数f（x）＝3x＋a3x+1（a＞0）的最小值为5，则a＝ .
10.（2024·湖北孝感模拟）1x＋1y（x＋4y）的最小值为 .
12.（2024·上海模拟）已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2＋b2的最小值为 .
13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系式为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为 万元.
[B组 能力提升练]
14.（2024·湖南益阳模拟）《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A.a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）
B.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C.2aba＋b≤ab（a＞0，b＞0）
D.a＋b2≤ a2＋b22（a＞0，b＞0）
15.已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A.2B.4
C.6D.8
16.已知棱长为6的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则43a＋1b的最小值为（ ）
A.72B.7+336
C.7+436D.76
17.（多选）（2024·海南三亚模拟）设x＞0，y＞0，满足x＋y＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.xy的最大值为14
B.4x＋4y的最小值为4
C.x＋y的最大值为2
D.4x1－x＋y1－y的最小值为4
18.（2024·山西太原模拟）已知a，b为正实数，a＋b＝3，则1a+1＋1b+2的最小值为（ ）
A.23B.56
19.（多选）（2024·湖北黄冈模拟）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.0＜1ab≤14B.1a＋1b≥1
C.lg2a＋lg2b＜2D.1a2＋b2≤18
20.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为 .
21.若直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为 .
22.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节 基本不等式-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A.a＜b＜ab＜a＋b2B.a＜ab＜a＋b2＜b
C.a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b
答案：B
解析：法一（特值法）：代入a＝1，b＝2，则有0＜a＝1＜ab＝2＜a＋b2＝1.5＜b＝2.
法二（直接法）：已知0＜a＜b和ab＜a＋b2，比较a与ab的大小.
因为a2－（ab）2＝a（a－b）＜0，所以a＜ab，同理，由
b2－（ab）2＝b（b－a）＞0，得ab＜b.因为b－a＋b2＝b－a2＞0，所以a＋b2＜b.综上可得，a＜ab＜a＋b2＜b.
2.若x＜0，则关于x＋1x下列结论正确的是（ ）
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
答案：D
解析：因为x＜0，所以－x＞0，－x＋1－x≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.（2024·江西南昌）若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是（ ）
A.x＝yB.x＝2y
C.x＝2且y＝1D.x＝y或y＝1
答案：C
解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥22xy，
当且仅当x＝2y时取等号.
故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件.
4.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1y的最小值为（ ）
A.3B.4
C.5D.6
答案：C
解析：p＝x＋x＋yx＋y＋x＋yy＝3＋yx＋xy≥3＋2yx·xy＝5，当且仅当x＝y＝12时等号成立.
5.（2024·河北邢台）已知正数a，b满足3a＋1b＝1，则3a＋b的最小值为（ ）
A.13B.16
C.9D.12
答案：B
解析：因为正数a，b满足3a＋1b＝1，
所以3a＋b＝3a＋b3a＋1b＝10＋3ba＋3ab≥10＋23ba·3ab＝16，
当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝4时取等号，
所以3a＋b的最小值为16.
6.已知a，b∈正实数，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为（ ）
A.16B.32
C.64D.128
答案：B
解析：ab－16＝a＋2b≥22ab，令ab＝t，
则t2－22t－16≥0⇒t≥22＋722＝42，
故ab≥32，即ab最小值为32（当且仅当a＝8，b＝4时取等号）.
7.（多选）若x≥y，则下列不等式中正确的是（ ）
A.2x≥2yB.x＋y2≥xy
C.x2≥y2D.x2＋y2≥2xy
答案：AD
解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；
当0＞x≥y时，x＋y2≥xy不成立，故B错误；
当x=-1， y=-2时，x2≥y2不成立，故C错误；
x2＋y2－2xy＝（x－y）2≥0恒成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确.
8.（多选）设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是（ ）
A.nm＋2n的最小值为2
B.mn的最大值为1
C.m＋n的最小值为2
D.m2＋n2的最小值为2
答案：BD
解析：因为m＞0，n＞0，m＋n＝2，所以nm＋2n＝nm＋m＋nn＝nm＋mn＋1≥2nm·mn＋1＝3，当且仅当m＝n＝1时取等号，A错误；mn≤m＋n22＝1，当且仅当m＝n＝1时，mn取得最大值1，B正确；因为（m＋n）2＝m＋n＋2mn＝2＋2mn≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时取等号，故m＋n≤2，即m＋n的最大值为2，C错误；m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝4－2mn≥4－2×m＋n22＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号，故m2＋n2的最小值为2，D正确.
9.已知函数f（x）＝3x＋a3x+1（a＞0）的最小值为5，则a＝ .
答案：9
解析：f（x）＝3x＋a3x+1＝3x＋1＋a3x+1－1≥2a－1＝5，当且仅当3x＋1＝a3x+1时等号成立，∴a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时等号成立.
10.（2024·湖北孝感模拟）1x＋1y（x＋4y）的最小值为 .
答案：9
解析：1x＋1y（x＋4y）＝5＋xy＋4yx≥5＋24＝9，
当且仅当xy＝4yx，即x＝4y＞0时，等号成立，
所以1x＋1y（x＋4y）的最小值为9.
11.（2024·四川遂宁模拟）当x＞1时，x＋4x－1的最小值为 .
答案：5
解析：因为x＞1，所以x－1＞0，由基本不等式得x＋4x－1＝（x－1）＋4x－1＋1≥2（x－1）·4x－1＋1＝5，
当且仅当x＝3时，等号成立.因此，x＋4x－1的最小值为5.
12.（2024·上海模拟）已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2＋b2的最小值为 .
答案：2
解析：由题意得ab＝1，即ab＝1，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系式为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为 万元.
答案：8
解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x万元.由于x＞0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
[B组 能力提升练]
14.（2024·湖南益阳模拟）《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A.a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）
B.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C.2aba＋b≤ab（a＞0，b＞0）
D.a＋b2≤ a2＋b22（a＞0，b＞0）
答案：D
解析：由题图可知OF＝12AB＝a＋b2，OC＝a－b2.
在Rt△OCF中，由勾股定理可得
CF＝ a＋b22＋a－b22＝a2＋b22.
∵CF≥OF，
∴a＋b2≤ a2＋b22（a＞0，b＞0）.
15.已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A.2B.4
C.6D.8
答案：B
解析：已知不等式（x＋y）1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则（x＋y）1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝（1＋a）2≥9，所以a≥2或a≤－4（舍去），所以a≥4，即正实数a的最小值为4.
16.已知棱长为6的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则43a＋1b的最小值为（ ）
A.72B.7+336
C.7+436D.76
答案：C
解析：如图，连接CE，DE，设O为底面三角形BCD的中心，连接OA，则正四面体的高OA＝2.因为VA－BCD＝VE－BCD＋VE－ACD，所以a＋b＝2，所以43a＋1b＝1243a＋1b（a＋b）＝1273＋4b3a＋ab≥1273+24b3a·ab＝7+436，当且仅当4b3a＝ab，即b＝32a时取等号.
17.（多选）（2024·海南三亚模拟）设x＞0，y＞0，满足x＋y＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.xy的最大值为14
B.4x＋4y的最小值为4
C.x＋y的最大值为2
D.4x1－x＋y1－y的最小值为4
答案：BD
解析：由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得xy≤x＋y2＝12，当且仅当x＝y＝12时，等号成立，故A不正确.
4x＋4y≥24x×4y＝24x＋y＝4，当且仅当x＝y＝12时，等号成立，故B正确.
x＋y2＝x＋2xy＋y≤1＋x＋y＝2，即x＋y≤2，故C不正确.
4x1－x＋y1－y＝4xy＋yx≥24xy·yx＝4，当且仅当x＝13，y＝23时，等号成立，故D正确.
18.（2024·山西太原模拟）已知a，b为正实数，a＋b＝3，则1a+1＋1b+2的最小值为（ ）
A.23B.56
C.12D.4
答案：A
解析：因为a＋b＝3，
所以1a+1＋1b+2＝161a+1＋1b+2（a＋1＋b＋2）＝16b+2a+1＋a+1b+2+2≥162b+2a+1·a+1b+2+2＝23，
当且仅当b+2a+1＝a+1b+2，即a＝2，b＝1时，等号成立，
所以1a＋1＋1b+2的最小值为23.
19.（多选）（2024·湖北黄冈模拟）若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.0＜1ab≤14B.1a＋1b≥1
C.lg2a＋lg2b＜2D.1a2＋b2≤18
答案：BD
解析：因为a＞0，b＞0，所以ab≤a＋b22≤a2＋b22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则ab≤422＝4或422≤a2＋b22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则1ab≥14，a2＋b2≥8，1a2＋b2≤18，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg24＝2，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；
对于B选项，1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥4×14＝1，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立.
20.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为 .
答案：a2＋b2＝1（答案不唯一）
解析：该等式可为a2＋b2＝1，证明如下：1a2＋9b2＝1a2＋9b2（a2＋b2）＝1＋9＋9a2b2＋b2a2≥10＋29a2b2·b2a2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16.
21.若直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为 .
答案：32＋2
解析：直线l：ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以1a＋1b＝12（a＋2b）1a＋1b＝32＋122ba＋ab≥32＋ 2ba·ab＝32＋2，当且仅当2ba＝ab时等号成立，所以1a＋1b的最小值为32＋2.
22.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
解：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x＋45 000x－200≥212x·45 000x－200＝100，当且仅当12x＝45 000x，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
（2）获利.设该单位每月获利为s元，则s＝200x－y＝－12x2＋400x－45 000＝－12（x－400）2＋35 000.因为x∈[300，600]，所以s∈[15 000，35 000].故该单位每月获利，最大利润为35 000元.