2025年高考数学一轮复习-第一章-第一节 集合【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第一章-第一节 集合【导学案】，共17页。

[知识梳理]
知识点 集合
1.集合的含义与表示
2.集合间的基本关系
续表
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
（1）（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B，A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩⌀＝⌀.
（2）A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），A∪B＝B∪A，A∪B＝B⇔A⊆B，A∪⌀＝A.
（3）∁UU＝⌀，∁U⌀＝U，∁U（∁UA）＝A，A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝⌀，∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
[小题诊断]
1.（多选）已知集合A＝{x｜x≤23，x∈R}，a＝14，b＝22，则（ ）
A.a∈ AB.a∉AC.b∈AD.b∉A
答案：BC
解析：由14＞12＝23，可得a∉A；由22＜23，可得b∈A.
2.（2024·北京模拟）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，则∁UA＝（ ）
A.0，2
B.－3，0∪2，3
C.－2，0
D.－3，0∪2，3
答案：D
解析：全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜0＜x＜2}，
由补集定义可知：∁UA＝{x｜－3＜x≤0或2≤x＜3}，即∁UA＝－3，0∪2，3.
3.已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}.若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为（ ）
A.1B.2C.4D.8
答案：C
解析：由题意知含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个.
4.（2021·全国乙卷）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A.⌀B.S
C.TD.Z
答案：C
解析：依题知T⫋S，则S∩T＝T.
考点一 集合的含义与表示
[例1] （1）（2024·海南海口模拟）已知集合A＝xx∈Z，32－x∈Z，则集合A中的元素的个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
（2）（多选）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的可能取值为（ ）
A.1B.－1C.3D.2
[答案] （1）C （2）AC
[解析] （1）因为x∈Z，且32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
（2）因为5∈M，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3，或m＝1，m＝－1.当m＝3时，M＝{1，5，13}，符合题意；当m＝1时，M＝{1，3，5}，符合题意；当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不满足集合中元素的互异性，不成立，所以m＝3或m＝1.
┃方法总结┃
确定集合的注意点
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
1.（2024·江苏泰州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A.5B.6C.10D.15
答案：D
解析：因为x∈A，y∈A，x－y∈A，
所以分以下5种情况：
①x－y＝1，有四个，（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）；
②x－y＝2，有三个，（2，0），（3，1），（4，2）；
③x－y＝3，有两个，（4，1），（3，0）；
④x－y＝4，有一个，（4，0）；
⑤x－y＝0，有五个，（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
综上，B中所含元素的个数为15.
2.（2024·山东济南模拟）已知集合A＝x，x2+1,−1中的最大元素为2，则实数x＝ .
答案：1
解析：因为x2＋1－x＝x－122＋34＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1，
显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意.
考点二 集合间的基本关系
[例2] （1）已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于（ ）
A.1或2B.－1或－2
C.2D.1
（2）（2023·新高考Ⅱ卷）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}.若A⊆B，则a＝（ ）
A.2B.1C.23D.－1
（3）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 .
[答案] （1）C （2）B （3）（－∞，3]
[解析] （1）∵A＝B，
∴3a－2＝a2，解得a＝1或a＝2.
当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2.
（2）若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B，所以a＝1.
（3）因为B⊆A，所以分以下两种情况：
①若B＝⌀，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；
②若B≠⌀，则2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
┃方法总结┃
1.子集个数的求解方法
2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图象帮助分析，同时还要注意空集分类讨论等情况.
3.已知集合A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，则A∩B的非空子集的个数为（ ）
A.4B.7C.8D.16
答案：B
解析：法一：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，A∩B的非空子集为{2}，{3}，{5}，{2，3}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}，共7个.
法二：因为A＝{1，2，3，5，10}，B＝{x｜x为质数}，所以A∩B＝{2，3，5}，共有3个元素.故非空子集的个数为23－1＝7.
4.已知集合A＝xx=2k＋13，k∈Z，B＝xx＝2k+13，k∈Z，则（ ）
A.A⊆BB.A∩B＝⌀
C.A＝BD.A⊇B
答案：A
解析：当k＝3n时，x＝6n+13，n∈Z.
当k＝3n＋1时，x＝2（3n+1）+13＝6n+33，n∈Z，
当k＝3n＋2时，x＝2（3n+2）+13＝6n+53，n∈Z，
所以B＝
xx＝6n+13，或x＝6n+33，或x＝6n+53，n∈Z，
因为A＝xx＝6k+13，k∈Z，∴A⊆B.
5.（2024·九省联考测试）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为 .
答案：5
解析：已知A∩B＝A，则A⊆B.
∵B＝{x｜｜x－3｜≤m}，
∴B＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，
∴3+m≥4，3－m≤－2，
∴m≥5，∴mmin＝5.
考点三 集合的基本运算
◉角度（一） 集合的基本运算
[例3] （1）（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ ）
A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}
C.{－2}D.{2}
（2）（2023·全国甲卷）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.⌀
[答案] （1）C （2）A
[解析] （1）由x2－x－6≥0，得x≥3或x≤－2，∴N＝{x｜x≥3，或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}.
（2）∵M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，
∴M∪N＝{x｜x＝3k＋1，或x＝3k＋2，k∈Z}.
又U为整数集，
∴∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}.
◉角度（二） 利用集合运算求参数或参数的范围
[例4] （1）（2020·全国Ⅰ卷）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ ）
A.－4B.－2
C.2D.4
（2）设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}.已知A∩B＝{9}，则a＝ ，A∪B＝ .
[答案] （1）B （2）－3 {－7，－4，－8，4，9}
[解析] （1）A＝{x｜－2≤x≤2}，
B＝xx≤－a2.
由A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，知－a2＝1，所以a＝－2.
（2）因为A∩B＝{9}，所以9∈A，
所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.
当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去.
当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－4，－7，－8，4，9}.
当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去.
综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}.
┃方法总结┃
利用集合的运算求参数的方法
1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．
2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组）求解.
注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性
6.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，2}B.{1，2}
C.{1，4}D.{－1，4}
答案：B
解析：由｜x－1｜≤1得0≤x≤2，则B＝{x｜0≤x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}.
7.（2024·河南焦作模拟）若集合A＝{x｜2x2－9x＞0}，B＝{x｜x≥2}，则（∁RA）∪B＝（ ）
A.2，92B.⌀
C.[0，＋∞）D.（0，＋∞）
答案：C
解析：因为A＝{x｜2x2－9x＞0}＝xx＞92，或x1D.xx>0
[答案] （1）A （2）ABD
[解析] （1）由题设知A＋B＝2，3，4，5，
∴所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.
（2）根据“影子关系”集合的定义，
可知－1，1，12，2，xx>0为“影子关系”集合，
由xx2>1，得xx＜－1或x>1，当x＝2时，12∉xx2>1，故不是“影子关系”集合.
┃方法总结┃
解“新定义”题的方法
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
9.（2024·湖南长沙模拟）定义集合A÷B＝zz＝xy，x∈A，y∈B.已知集合A＝4，8，B＝1，2，4，则A÷B的元素的个数为（ ）
A.3B.4
C.5D.6
答案：B
解析：因为A＝4，8，B＝1，2，4，
所以A÷B＝1，2，4，8，故A÷B的元素的个数为4.
10.（2024·安徽蚌埠模拟）对于数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，a∈A，b∈B}.若集合A＝1，2，则集合A＋A÷A中所有元素之和为（ ）
A.102B.152
C.212D.232
答案：D
解析：根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B，A÷B＝{xx＝ab，a∈A，b∈B}，集合A＝1，2，A＋A＝2，3，4，A＋A÷A＝1，2，3，4，32，则可知所有元素的和为232.
用Venn图解决有关集合问题
[例] （1）（多选）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.M∩∁UN
B.N∩∁UM
C.M∩∁UN⋂M
D.∁UM∩∁UN
（2）（2024·湖北黄冈模拟）已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果为U的是（ ）
A.M∪NB.∁UN∪∁UM
C.M∪∁UND.N∪∁UM
[答案] （1）AC （2）D
[解析] （1）如图，
对于A，∁UN＝①＋④，则M∩∁UN＝④，故A正确；
对于B，∁UM＝①＋②，则N∩∁UM＝②，故B错误；
对于C，M∩N＝③，∁UM⋂N＝①＋②＋④，故M∩∁UN⋂M＝④，故C正确；
对于D，∁UM∩∁UN＝①，故D错误.
（2）全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，绘制Venn图，如图所示.
对于A：M∪N＝N，A错误；
对于B：∁UN∪∁UM＝∁UM，B错误；
对于C：M∪∁UN⊆U，C错误；
对于D：N∪∁UM＝U，D正确.
┃方法总结┃
利用Venn图可以迅速地解决多个集合之间的关系及运算问题，需要引起重视.
1. （2024·江西南昌模拟）已知全集U＝R，集合A＝1，2，3，集合B＝0，2，3，4，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A.2，3B.0
C.4D.0，4
答案：D
解析：根据交集和补集的定义，图中的阴影部分表示的集合为B∩∁UA，即B∩∁UA＝0，2，3，4∩xx≠1，x≠2，x≠3＝0，4.
2.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）
A.最多人数是55B.最少人数是55
C.最少人数是75D.最多人数是80
答案：B
解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.
又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.
根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100，
∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，
∴55≤y≤75，故最少人数是55.
[A组 基础保分练]
1.设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝（ ）
A.－1B.1
C.0D.2
答案：A
解析：∵A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，
∴－1∈B，∴m＝－1.
2.（2022·全国甲卷）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝x｜0≤x＜52，则A∩B＝（ ）
A.{0，1，2}B.{－2，－1，0}
C.{0，1}D.{1，2}
答案：A
解析：集合A中的元素只有0，1，2属于集合B，
所以A∩B＝{0，1，2}.
3.（2022·北京卷）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜－2＜x≤1}，则∁UA＝（ ）
A.（－2，1]B.（－3，－2）∪[1，3）
C.[－2，1）D.（－3，－2]∪（1，3）
答案：D
解析：法一：因为全集U＝（－3，3），A＝（－2，1]，
所以∁UA＝（－3，－2]∪（1，3）.
法二：因为1∈A，所以1∉∁UA，可排除A选项和B选项；0∈A，所以0∉∁UA，可排除C选项.
4.（2023·北京卷）已知集合M＝{x｜x＋2≥0}，N＝{x｜x－1＜0}，则M∩N＝（ ）
A.{x｜－2≤x＜1}B.{x｜－2＜x≤1}
C.{x｜x≥－2}D.{x｜x＜1}
答案：A
解析：由题意，M＝{x｜x＋2≥0}＝{x｜x≥－2}，N＝{x｜x－1＜0}＝{x｜x＜1}，
根据交集的运算可知，M∩N＝{x｜－2≤x＜1}.
5.已知集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有（ ）
A.7个B.8个
C.15个D.16个
答案：A
解析：∵集合A＝{x∈N*｜x2－3x－4＜0}＝{x∈N*｜－1＜x＜4}＝{1，2，3}，
∴集合A中共有3个元素，
∴真子集有23－1＝7（个）.
6.（2023·天津卷）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（∁UB）∪A＝（ ）
A.{1，3，5}B.{1，3}
C.{1，2，4}D.{1，2，4，5}
答案：A
解析：由题意知∁UB＝{3，5}，∴A∪（∁UB）＝{1，3，5}.
7.（多选）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（ ）
A.{5}B.{1，5}
C.{3}D.{1，3}
答案：AB
解析：由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.
8.（多选）已知集合A＝{x｜x＞－1，x∈R}，B＝{x｜x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中错误的是（ ）
A.A⊆BB.∁RA⊆∁RB
C.A∩B＝⌀D.A∪B＝R
答案：ABC
解析：∵A＝（－1，＋∞），B＝（－∞，－1]∪[2，＋∞），
∴A∪B＝R，D正确，其余选项均错误.
9.（2024·浙江台州模拟）若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）＝ .
答案：{4}
解析：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.
10.已知集合1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则a2 023＋b2 024＝ .
答案：－1
解析：易知a≠0，ba＝0，即b＝0，
所以a2＝1，即a＝±1.
又由集合中元素的互异性，知a≠1，所以a＝－1，
故a2 023＋b2 024＝（－1）2 023＋02 024＝－1.
11.已知集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的值为 .
答案：0或2
解析：∵集合A＝{x｜x2＋2ax＋2a≤0}，A中只有一个元素，∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2，∴实数a的值为0或2.
12.已知集合A＝{x｜x－a≤0}，B＝{1，2，3}.若A∩B≠⌀，则a的取值范围为 .
答案：[1，＋∞）
解析：集合A＝{x｜x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠⌀，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
13.（2024·河南郑州模拟）已知集合A＝x∈N* x＝mn，1≤m≤10，m，n∈N*有15个真子集，则m的一个值为 .
答案：6（或8，或10，填其中一个即可）
解析：由集合A＝x∈N* x＝mn，1≤m≤10，m，n∈N*
有15个真子集，
得集合A中含有4个元素，则m有4个因数，则除1和它本身m外，还有2个因数，
所以m的值可以为6，8，10，故m的一个值为6（或8，或10）.
14.已知集合A＝{x｜x2＝4，x∈R}，B＝{x｜kx＝4，x∈R}.若B⊆A，则实数k＝ .
答案：0，2，－2
解析：A＝{x｜x2＝4，x∈R}＝{－2，2}.因为B⊆A，所以B＝⌀，或B＝{2}，或B＝{－2}，或B＝{－2，2}.
因为方程kx＝4最多有一个实数根或无实数根，因此分类讨论如下：当B＝⌀时，方程kx＝4无实根，所以k＝0；
当B＝{2}时，2是方程kx＝4的实根，故2k＝4⇒k＝2；
当B＝{－2}时，－2是方程kx＝4的实根，故－2k＝4⇒k＝－2.综上可知，实数k＝0，2，－2.
[B组 能力提升练]
15.已知集合M＝{（x，y）｜y＝3x2}，N＝{（x，y）｜y＝5x}，则M∩N中的元素个数为（ ）
A.0B.1
C.2D.3
答案：C
解析：由y=3x2，y=5x，解得x=0，y=0或x＝53，y＝253，因此M∩N中的元素个数为2.
16.已知集合A＝13，12，1，2，3，则具有性质“若x∈A，则1x∈A”的A的所有非空子集的个数为（ ）
A.3B.7
C.15D.31
答案：B
解析：满足“x∈A，且1x∈A”的A的非空子集为{1}，
12，2，13，3，12，1，2，13，1，3，12，13，2，3，12，13，1，2，3，共7个.
17.已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素.若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为（ ）
A.mnB.m＋n
C.n－mD.m－n
答案：D
解析：因为（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有（m－n）个元素.
18.（多选）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（ ）
A.5B.6
C.7D.8
答案：AB
解析：如图所示，（a＋b＋c＋x）表示周一开车上班的职工人数，（b＋d＋e＋x）表示周二开车上班的职工人数，（c＋e＋f＋x）表示周三开车上班的职工人数，x表示这三天都开车上班的职工人数.
则a＋b＋c＋x=14，b＋d＋e＋x=10，c＋e＋f＋x=8，a＋b＋c＋d＋e＋f＋x=20，
得a+2b+2c＋d+2e＋f+3x=32，a＋b＋c＋d＋e＋f＋x=20，得b＋c＋e＋2x＝12，当b＝c＝e＝0时，x取得最大值6，则这三天都开车上班的职工人数至多是6.
19.设集合U＝{（x，y）｜x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）｜2x－y＋m≥0}，B＝{（x，y）｜x＋y－n＞0}.若点P（2，3）∈A∩（∁UB），则m＋n的最小值为 .
答案：4
解析：A＝{（x，y）｜2x－y＋m≥0}，∁UB＝{（x，y）｜x＋y－n≤0}，
由于P（2，3）∈A∩（∁UB），所以
2×2－3+m≥0，2+3－n≤0，解得m≥－1，n≥5，
所以m＋n≥4，即m＋n的最小值为4.
20.定义P☉Q＝zz＝yx＋xy，x∈P，y∈Q，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，则P☉Q＝ .
答案：1,−1,−34
解析：x，y取不同值时z的值如下表所示.
所以P☉Q＝1,−1,−34.元素与
集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）
集合中元素
的特征
确定性、互异性、无序性
集合的
表示方法
列举法、描述法和图示法
特定集合
的记法
正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R
元素与集合
之间的关系
“属于”或“不属于”，记为“∈”或“∉”
关系
自然语言
符号语言
记法
Venn图
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
x∈A⇒
x∈B
A⊆B
或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⊆B，
且∃x∈
B，x∉A
A⫋B
或B⫌A
关系
自然语言
符号语言
记法
Venn图
集合相等
集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A⊆B，
且B⊆A
A＝B
运算
交集
并集
补集
Venn图
符号语言
A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A}
穷举法
将集合的子集一一列举出来，从而得到子|集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况
公式法
含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n一1，非空真子集的个数是2n-2
y
z
x
1
2
0
10＋01＝1
20＋02＝1
－2
1－2＋－21＝－1
2－2＋－22＝－34