2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题【含解析】，共7页。试卷主要包含了已知函数f=ex+x2-x-1，已知函数f=ln x-ax等内容，欢迎下载使用。
(1)求实数a的值;
(2)求证:当x>0时,f(x)>4x-3.
【加练备选】
(2023·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
2.(10分)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:ex+xln x+x2-2x>0.
【加练备选】
已知函数f(x)=ex2-xln x.求证:当x>0时,f(x)xln x-sin x;②f(x)>x(ln x-1)-cs x.
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
4.(10分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)证明:ex-e2ln x>0恒成立.
2025年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题 【解析版】(时间:45分钟 分值:40分)
1.(10分)已知函数f(x)=ax+xln x,且曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线4x-y+1=0平行.
(1)求实数a的值;
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1+a,由题意知,f'(e)=2+a=4,则a=2.
(2)求证:当x>0时,f(x)>4x-3.
【解析】(2)由(1)知,f(x)=2x+xln x,
令g(x)=f(x)-(4x-3)=xln x-2x+3,
则g'(x)=ln x-1,
由ln x-1>0得x>e,由ln x-14x-3.
【加练备选】
(2023·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,
得f'(x)=ex-2,x∈R,
令f'(x)=0,得x=ln 2.
于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞).
f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2+a),无极大值.
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
【解析】(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.
于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln 2-1时,g'(x)的最小值为
g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0,
于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,
所以g(x)在R上单调递增,
于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
2.(10分)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
【解析】(1)由题意可得f'(x)=ex+2x-1,
则函数f'(x)在R上单调递增,且f'(0)=0.
由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)0,
即证ex+x2-x-1>-xln x+x-1.
由(1)可知当x>0时,f(x)>0恒成立.
设g(x)=-xln x+x-1,x>0,则g'(x)=-ln x.
由g'(x)>0,得01),
则h'(x)=ex-1x-sin x>e-1-1>0,
所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,
h(x)>e-2+cs 1>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,
g(x)>e-2+sin 1>0(x>1).
综上,当a≥1时,f(x)>xln x-sin x.
选择②,当a≥1,x>0时,f(x)=aex-x-a=a(ex-1)-x≥ex-1-x,当且仅当a=1时等号成立.
设g(x)=ex-xln x+cs x-1,x>0.
当00,
ex-1>0,故g(x)>0.
当x>1时,g'(x)=ex-1-ln x-sin x,
设h(x)=ex-1-ln x-sin x(x>1),
则h'(x)=ex-1x-cs x>e-1-1>0,
所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,
h(x)>e-1-sin 1>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,
g(x)>e-1+cs 1>0(x>1).
综上,当a≥1时,f(x)>x(ln x-1)-cs x.
4.(10分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1x-a=1-axx,当a≤0时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,令f'(x)=0,得x=1a,
所以x∈(0,1a)时,f'(x)>0;x∈(1a,+∞)时,f'(x)0恒成立.
【解析】(2)要证ex-e2ln x>0,即证ex-2>ln x,
令φ(x)=ex-x-1,所以φ'(x)=ex-1.
令φ'(x)=0,得x=0,
所以当x∈(-∞,0)时,φ'(x)