2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的奇偶性与周期性【含解析】

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1.(5分)下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=sin xB.y=2xC.y=lg2xD.y=x3
2.(5分)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )
A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)
3.(5分)(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当01-ln x,整理得ln x>12,
解得x>e,故不等式的解集为(e,+∞).
答案:(e,+∞)
10.(10分)设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
又4-π∈(0,1),
所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
【解析】(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x),
故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S,
则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4.
11.(10分)已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2 024.
(1)分别求f(0)和f(-3)的值;
【解析】(1)令x=y=0,可得f(0)=-1;
令x=-3,y=3,可得f(0)=f(-3)+f(3)+1,
所以-1=f(-3)+2 024+1,
即f(-3)=-2 026.
(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性.
【解析】(2)令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)+1,
所以f(x)+f(-x)=-2,
所以f(x)+1+f(-x)+1=0,
即F(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(x),
所以函数F(x)=f(x)+1是奇函数.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则( )
A.f(2 023)=0
B.f(x)的值域为[-1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[-6,6]上有8个零点
【解析】选AB.f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,
所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],
由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,
又函数的周期是4,
所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;
令f(x)=2x-2=0,所以x=1,
所以f(1)=f(-1)=0,
由于函数的周期为4,
所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,
所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.
13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
【解析】方法一(定义法) 因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.
方法二(取特殊值检验法) 因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(-1)=f(1),所以-(a2-2)=2a-12,
解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.
方法三(转化法) 由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.
设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,
因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,
所以h(0)=a·20-2-0=0,
解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.
答案:1
14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
【解析】(2)x∈[2,4],则4-x∈[0,2],
f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]
=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]
=x2-6x+8,
所以x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023).
【解析】(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0.