2025年高考数学一轮复习课时作业-基本不等式【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-基本不等式【含解析】，共10页。
1.(5分)(2024·临夏模拟)若x>0,则函数y=x+4x( )
A.有最大值-4B.有最小值4
C.有最大值-2D.有最小值-2
2.(5分)已知a>0,且b>0,若2a+b=4,则ab的最大值为( )
A.14B.4C.12D.2
3.(5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元B.120元C.160元D.240元
4.(5分)设x>0,则3-3x-1x的最大值是( )
A.3B.3-22C.-1D.3-23
5.(5分)(多选题)(2024·连云港模拟)下列命题中的真命题有( )
A.当x>1时,x+1x-1的最小值是3
B.x2+5 x2+4的最小值是2
C.当00,x>0,则12x+xy+1的最小值为 .
9.(5分)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则x+y的最小值为 .
10.(10分)已知x>0,y>0,且2x+8y=xy,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
11.(10分)(2024·南京模拟)已知正数x,y满足x+2y=1.
(1)当x,y取何值时,xy有最大值?
(2)若1x+2y≥3a恒成立,求实数a的取值范围.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)(2024·潮州模拟)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是( )
A.yx+3y的最小值为4
B.xy的最大值为98
C. x+ 2y的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为92
13.(5分)(2024·滨州模拟)已知函数fx=1-ex1+ex,若m>0,n>0,且f2m+fn-1=f0,则1m+2n的最小值为 .
14.(10分)(2024·深圳模拟)珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料,由于需求量大幅增加,某加工珍珠棉的公司经市场调研发现,若本季度在原材料上多投入x10,所以y=x+4x≥2 x·4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,
所以当x>0时函数y=x+4x有最小值4.
2.(5分)已知a>0,且b>0,若2a+b=4,则ab的最大值为( )
A.14B.4C.12D.2
【解析】选D.4=2a+b≥22ab,
即2≥2ab,两边平方得4≥2ab,
所以ab≤2,当且仅当a=1,b=2时,等号成立,
所以ab的最大值为2.
3.(5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元B.120元C.160元D.240元
【解析】选C.由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是4x m,又设总造价是y元,则y=20×4+10×(2x+8x)≥80+202x·8x=160,当且仅当2x=8x,即x=2时取等号.
4.(5分)设x>0,则3-3x-1x的最大值是( )
A.3B.3-22C.-1D.3-23
【解析】选D.因为x>0,所以3x+1x≥23x·1x=23,当且仅当x=33时,等号成立,
所以-(3x+1x)≤-23,
则3-3x-1x≤3-23.
5.(5分)(多选题)(2024·连云港模拟)下列命题中的真命题有( )
A.当x>1时,x+1x-1的最小值是3
B.x2+5 x2+4的最小值是2
C.当00,
所以x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2 (x-1)×1x-1+1=3,
当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立,故选项A正确;
对于选项B,因为x2+5 x2+4=x2+4+1 x2+4= x2+4+1 x2+4≥2,
等号成立的条件是x2=-3,显然不成立,所以等号不成立,不能使用基本不等式,即最小值不为2,令t= x2+4≥2,则y=t+1t在2,+∞上单调递增,所以t=2时取得最小值52,故选项B错误;
对于选项C,因为02时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.
答案:3
8.(5分)若正实数a,b满足a+b+2=ab,则a+b-2的最小值为 ;3a-1+7b-1的最小值是 .
【解题指南】将条件转化为a-1b-1=3后,由基本不等式求解.
【解析】由a+b+2=ab,得a=b+2b-1>0,所以b>1,同理可得a>1,所以b-1>0,a-1>0.
因为a+b+2=ab,所以a-1b-1=3,
所以a+b-2=a-1+b-1≥2a-1b-1=23,当且仅当a-1=b-1,即a=b=1+3时取等号.
又b-1=3a-1,所以3a-1+7b-1=b-1+7b-1≥2b-1·7b-1=27,当且仅当b-1=7b-1,
即b=7+1时等号成立.
答案:23 27
【加练备选】
已知x+y=1,y>0,x>0,则12x+xy+1的最小值为 .
【解析】将x+y=1代入12x+xy+1中,得x+y2x+xx+2y=12+y2x+11+2yx,设yx=t>0,
则原式=1+t2+11+2t=2t2+3t+32(1+2t)=14·(1+2t)2+2t+1+41+2t=14[(1+2t)+41+2t+1]
≥14×2(1+2t)·41+2t+14=54,当且仅当t=12,即x=23,y=13时,取“=”.
答案:54
9.(5分)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则x+y的最小值为 .
【解析】因为x>0,y>0,x+4y-xy=0,
所以x+4y=xy,两边同除以xy,得4x+1y=1,
所以x+y=x+y4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,
当且仅当xy=4yxx+4y-xy=0,即x=6y=3时,等号成立,
所以x+y的最小值为9.
答案:9
10.(10分)已知x>0,y>0,且2x+8y=xy,求:
(1)xy的最小值;
【解析】(1)因为xy=2x+8y≥22x·8y,
即xy≥8xy,即xy≥64,
当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时,等号成立,
所以xy的最小值为64.
(2)x+y的最小值.
【解析】(2)由2x+8y=xy,得8x+2y=1,
则x+y=(8x+2y)(x+y)
=10+2xy+8yx≥10+22xy·8yx=18,
当且仅当2xy=8yx,即x=12,y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
11.(10分)(2024·南京模拟)已知正数x,y满足x+2y=1.
(1)当x,y取何值时,xy有最大值?
【解析】(1)因为正数x,y满足x+2y=1,
由基本不等式得x+2y=1≥2 2xy,解得xy≤18,
当且仅当x=2y,即x=12,y=14时,等号成立,
故xy的最大值为18.
(2)若1x+2y≥3a恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(2)要想1x+2y≥3a恒成立,只需1x+2ymin≥3a,
正数x,y满足x+2y=1,
所以1x+2y=1x+2yx+2y=1+4+2yx+2xy≥5+2 2yx·2xy=9,
当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时,等号成立,
故9≥3a,解得a≤2,
所以实数a的取值范围是-∞,2.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)(2024·潮州模拟)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是( )
A.yx+3y的最小值为4
B.xy的最大值为98
C. x+ 2y的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为92
【解析】选ABD.对于A,yx+3y=yx+x+2yy=yx+xy+2≥2 yx·xy+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故A正确;
对于B,xy=12·x·2y≤12×x+2y22=12×94=98,当且仅当x=2y,即x=32,y=34时取等号,故B正确;
对于C,( x+ 2y)2=x+2y+2 2xy≤3+
2 2×98=3+3=6,则 x+ 2y≤ 6,当且仅当x=2y,即x=32,y=34时取等号,故C错误;
对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×98=92,当且仅当x=32,y=34时取等号,故D正确.
13.(5分)(2024·滨州模拟)已知函数fx=1-ex1+ex,若m>0,n>0,且f2m+fn-1=f0,则1m+2n的最小值为 .
【解析】因为fx=1-ex1+ex的定义域为R,关于0,0对称,且f-x=1-e-x1+e-x=ex-1ex1+exex=ex-11+ex=-fx,即函数fx为奇函数,
又因为f0=1-e01+e0=0,所以f2m+fn-1=f0=0,
即2m+n-1=0,所以2m+n=1,
则1m+2n=1m+2n2m+n=nm+4mn+4≥2 nm·4mn+4=8,
当且仅当nm=4mn2m+n=1,
即m=14n=12时取等号.
所以1m+2n的最小值为8.
答案:8
14.(10分)(2024·深圳模拟)珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料,由于需求量大幅增加,某加工珍珠棉的公司经市场调研发现,若本季度在原材料上多投入x1