2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【含解析】，共16页。

1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是( )
A.梯形的四个顶点共面
B.两条平行直线确定一个平面
C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
D.四边形确定一个平面
2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是( )
A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b
B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面
D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交
3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是( )
A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线
B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线
C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线
D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线
4.(5分)如图,在三棱锥D?ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D?ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是( )
A.147B.77C.357D.27
【加练备选】
如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )

A.33B.55C.306D.66
5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为 .
8.(5分)如图,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为 .
9.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为 .
10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
11.(10分)如图所示,三棱锥P?ABC中, PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求证AE与PB是异面直线;
.
(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.
【能力提升练】
12.(5分)三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( )
A.1B.13C.33D.63
13.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD?EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为 .
14.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.
(1)求该圆锥的体积;
(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.

2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【解析版】 (时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是( )
A.梯形的四个顶点共面
B.两条平行直线确定一个平面
C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
D.四边形确定一个平面
【解析】选AB.显然选项A正确;
对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面,故选项B正确;
对于选项C,由空间角的等角定理知,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项C错误;
对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.
2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是( )
A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b
B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面
D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交
【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.
3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是( )
A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线
B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线
C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线
D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线
【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,
由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4a2+a2=5a,故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线.
4.(5分)如图,在三棱锥D?ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D?ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是( )
A.147B.77C.357D.27
【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,
所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,
则sin θ=HGEG=HGHG2+EH2=27=147.
【加练备选】
如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )

A.33B.55C.306D.66
【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,
从而AE=ED=6,则cs∠EAD=16=66,
即AE与BC所成角的余弦值为66.
5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,
则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB, PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM= PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.
6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【解析】选ABC.在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,
在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,
所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,
又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,
因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,
所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,
又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,
所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;
在选项B中,因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;
在选项C中,因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;
在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,
所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.
7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为 .
【解析】因为AB∥CD,由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个面相交.
答案:4
8.(5分)如图,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为 .
【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,
在△A1BB1中,D为B1B的中点,
所以DE为中位线,所以DE∥A1B,
所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,
在△EDC1中,ED=32+12=10,
DC1=32+22=13,EC1=22-12=3,
所以cs∠EDC1=ED2+DC12-EC122ED·DC1=10+13-32×10×13=13013,
所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013.
答案:13013
9.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为 .
【解析】取A1C1 的中点E,连接B1E,ED,AE,
在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,
设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E=60°.
答案:60°
10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
【解析】(1)由已知得FG=GA,FH=HD,
可得GH?12AD.又BC?12AD,
所以GH?BC,
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
【解析】(2)共面.理由如下:因为BE?12AF,G是FA的中点,
所以BE?FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.
由(1)知BG?CH,所以EF∥CH,
所以EF与CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.
11.(10分)如图所示,三棱锥P?ABC中, PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求证AE与PB是异面直线;
【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,
因为A∈α,B∈α,E∈α,
所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,
这与P∉平面ABE矛盾,
所以AE与PB是异面直线.
(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.
【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.
因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
所以AF=3,AE=2,EF=2,
cs∠AEF=AE2+EF2-AF22·AE·EF=2+2-32×2×2=14,
故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.
【能力提升练】
12.(5分)三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( )
A.1B.13C.33D.63
【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC?A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=63.
13.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD?EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为 .
【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,
所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32+42=5,
CH=12+42+42=33,AC=42,
则cs∠AHC=AH2+CH2-AC22×AH×CH=25+33-322×5×33=1333165.
答案:1333165
14.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.
(1)求该圆锥的体积;
【解析】(1)由勾股定理可知:
PO=PA2-OA2=4-1=3,
所以圆锥的体积为13·π·12·3=3π3;
(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.
【解析】(2)连接BD,过E作EF∥BD,连接PF,所以∠PEF是异面直线PE,BD所成的角(或其补角),如图所示,
因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,
所以∠BFE=∠DBO=π4,即∠OFE=3π4,
而∠COE=π3,所以∠FOE=π6,
因此∠OEF=π12,
在△OEF中,由正弦定理可知:
OFsinπ12=OEsin3π4=EFsinπ6⇒OFsin(π3-π4)=122=EF12
⇒EF=22,OF=2(22×32-22×12)=3-12,
PF=PO2+OF2=3+4-234=4-32.
由余弦定理可知:
cs∠PEF=PE2+EF2-PF22PE·EF=4+12-8-322×2×22=2+68.
【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.