初中苏科版2.5 等腰三角形的轴对称性教案配套课件ppt

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知识点4　等边三角形的概念
1.(新独家原创)如图,两个全等的等边三角形的边长为1 cm, 一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺 序沿等边三角形的边循环运动,运动2 024 cm后停止,则这个 微型机器人停在 (　　)
A.A处 B.B处 C.C处　    D.E处　
解析　∵两个全等的等边三角形的边长为1 cm,∴微型机器 人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角 形的边循环运动一圈为6 cm.∵2 024÷6=337……2,∴这个微型机器人停在C处.故选C.
知识点5　等边三角形的性质和判定
2.(2023甘肃金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高, 以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠ DEC=  (　　)
A.20°　    B.25°　    C.30°　    D.35°
解析　在等边△ABC中,∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴ BD平分∠ABC,∴∠CBD= ∠ABC=30°.∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.故选C.
3.(教材变式·P63T1)如图,在一张长方形纸片上画一条线段 AB,将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折,重叠部分为 △ABE,若△ABE为等边三角形,则∠1=　　　    °.
解析　∵△ABE为等边三角形,∴∠BAE=60°,∴∠BAD=120°.由翻折可得∠BAD'=∠BAD=120°,∴∠1=∠BAD'-∠BAE=120°-60°=60°.故答案为60.
4.(2022吉林长春期末)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上, 过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长 线于点F.(1)求∠F的度数.(2)求证:DC=CF.
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ ECD,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF,∴DC=CF.
5.(2024江苏常州新北期中,8,★★☆)如图,△ABC是等边三角 形,D是线段BC上一点(不与点B,C重合),连接AD,点E,F分别 在线段AB,AC的延长线上,且DE=DF=AD,点D从B运动到C的 过程中,△CDF周长的变化规律是 (　　)
A.不变　    B.一直变小C.先变大,后变小　    D.先变小,后变大
解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∴∠EBD=∠DCF=120°.∵DF=AD,∴∠CAD=∠F.∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,∠CDF+∠F=∠ACB=60°,∴∠BAD=∠CDF.∵DE=AD,∴∠BAD=∠E,∴∠E=∠CDF.在△BDE和△CFD中, ∴△BDE≌△CFD(AAS),∴BD=CF,∴△CFD的周长=CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+ AD.
∵在点D从B运动到C的过程中,BC的长不变,AD的长先变小, 后变大,∴在点D从B运动到C的过程中,△CFD的周长先变 小,后变大.故选D.
6.(手拉手模型)(2024上海杨浦期末,16,★★☆)如图,已知O是 等边三角形ABC内一点,D是线段BO延长线上一点,且OD= OA,∠AOB=120°,那么∠BDC=　　　    度.
解析　∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠ AOB=120°,∴∠AOD=180°-∠AOB=60°.又∵OD=OA,∴△ AOD为等边三角形,∴AO=AD,∠OAD=60°,∠ADO=60°.∴∠ BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°,∴∠BAO=∠CAD.在△ BAO和△CAD中, ∴△BAO≌△CAD(SAS),∴∠ADC=∠AOB=120°,∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60°.故答案 为60.
7.(2024江苏南京建邺月考,21,★☆☆)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC=120°,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、 D,连接AE、AD.求证:△AED是等边三角形.
证明　∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=  ×(180°-120°)=30°.∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、D,∴AE=BE,AD=CD,∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,∴∠AED= ∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,∴∠DAE=180°- ∠AED-∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.
8.(情境题·现实生活)(2024江苏连云港灌南期中,25,★★☆)如图①,遮阳伞伞柄垂直于地面,其示意图如图②所示.当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张开的角度最大.已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN,CM=CN.(1)求证:PC垂直平分MN.(2)若CN=PN=60 cm,当∠CPN=60°时,求AP的长.
解析　(1)证明:在△CMP和△CNP中, ∴△CMP≌△CNP(SSS),∴∠MPB=∠NPB.∵PM=PN,∴△PMN是等腰 三角形,∴PB⊥MN,BM=BN,∴PC垂直平分MN.(2)∵CN=PN=60 cm,当伞收紧时,点P与点A重合,∴AC=CN+ PN=120 cm.当∠CPN=60°时,∵CN=PN,∴△CPN是等边三角 形,∴PC=PN=60 cm,∴AP=AC-PC=60 cm.
9.(推理能力)(2024北京西城期中)如图①,等边△ABC中,D是 边AB上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗?请说说你的理由.(2)证明:AE∥BC.(3)如图②,当动点D运动到边BA的延长线上时,仍以CD为边 向右作等边△EDC,则是否仍有AE∥BC?证明你的猜想.
解析　(1)△DBC和△EAC全等.理由:∵△ABC与△EDC为均 等边三角形,∴∠ACB=60°,∠DCE=60°,BC=AC,DC=EC,∴∠ BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD,∴∠BCD=∠ACE.在 △DBC和△EAC中, ,∴△DBC≌△EAC(SAS).(2)证明:∵△DBC≌△EAC,∴∠EAC=∠B=60°.又∵∠ACB= 60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.(3)AE∥BC.证明:∵△ABC、△EDC均为等边三角形,∴BC=
AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中,  ∴△DBC≌△EAC(SAS),∴∠EAC=∠B=60°.又∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.
微专题　共顶点的等腰三角形
如图,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE,CF交于M,连接AM.(1)求证:BE=CF.(2)若∠BAC=90°,求证:BE⊥CF.
证明　(1)∵∠BAC=∠EAF,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠ CAE,∴∠BAE=∠CAF.在△CAF和△BAE中, ,∴△CAF≌△BAE(SAS),∴BE=CF.(2)设AC与BE交于O.由(1)知△CAF≌△BAE,∴∠ABE=∠ACF.∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°.∵∠ BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°,∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF.
1.(等腰三角形→等边三角形)如图,在△ABC中,分别以AC、 BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接 AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为　　　    .
解析　设AC与BD交于点H.∵△ACD,△BCE都是等边三角 形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠ACB =∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE.在△DCB和△ACE中,  ∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CAE=∠CDB.
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°,∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.故答案为120°
2.(等腰三角形→等腰直角三角形)(2023江苏南京鼓楼期末) 如图,在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=9 0°,OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?请 说明理由.
解析    AE与BF相等且垂直.理由:延长BF交AE于D,交OA于C, ∴AE⊥BF.在△AEO与△BFO中,∵△OAB与△OEF均为等腰直角三角形,∴AO=OB,∠AOE=90°-∠FOA=∠BOF,OE=OF,