初中青岛版2.4 线段的垂直平分线示范课课件ppt

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知识点5　利用轴对称知识解决最短路径问题
1.(2024湖南长沙雅礼教育集团期中)如图,A、B是两个居民 小区,快递公司准备在公路l上建一个服务中心P,使PA+PB最 短.下面四种选址方案符合要求的是 (　　) A　     B C D
解析　作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,则 点P即为所求点,故选A.
2.(2023山东菏泽曹县期中)如图,△ABC中,AB=3,AC=5,BC=6, EF垂直平分BC,点P为直线EF上一动点,则AP+BP的最小值 为 (　　)A.3　    B.5　    C.6　    D.7
解析　如图,连接CP,因为EF垂直平分BC,所以BP=CP,所以 AP+BP=AP+CP≥AC=5.故选B. 
3.(新独家原创)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶 点坐标分别为A(0,-2)、B(2,-4)、C(4,-1).(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标.(2)在x轴上画一点P,使△PAC的周长最小.
解析　(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,B1(-2,-4).(2)如图所示,作点A关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P, 所以PA=PD,所以PA+PC=PD+PC=CD,因为两点之间线段最 短,所以此时PA+PC的值最小,因为AC长为定值,所以此时△ PAC的周长最小,所以点P即为所求.
4.(2023山东聊城东昌府沙镇中学期末,12,★★☆)如图,∠ AOB=30°,M,N分别是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB, OA上的动点,记∠OPM=α,∠OQN=β,当MP+PQ+QN最小时, 关于α,β的数量关系正确的是 (　　)A.β-α=60°　    B.β+α=210° C.β-2α=30°　    D.β+2α=240°
解析　如图,作M关于直线OB的对称点M‘,N关于直线OA的对 称点N’,连接M‘N’交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN=M'N',此时MP+PQ+QN的值最小.易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,因为 ∠OQN=180°-30°-∠ONQ,∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP,∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ,所以β+α=180°-30°-∠ONQ+30°+ 30°+∠ONQ=210°.故选B.
5.(2024山东聊城冠县期末,7,★★☆)如图所示,在△ABC中, ∠ABC=68°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB 上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是 (　　) A.118°　    B.125°　    C.136°　    D.124°
解析　在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图1所示.因为BD平分 ∠ABC,所以∠ABD=∠CBD= ∠ABC=34°,因为BP=BP,所以△PBQ≌△PBE(SAS),所以PE=PQ,所以AP+PQ=AP+PE,所 以当A、P、E在同一条直线上,且AE⊥BC时(如图2所示),AP +PE最小,最小值为AE的长,此时∠AEB=90°,因为∠ABE=68 °,所以∠BAE=90°-∠ABE=22°,所以∠APB=180°-∠ABP-∠ BAP=124°.
6.(空间观念)(动点问题)如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°, AB=25 cm,DA=15 cm,CB=10 cm.动点E从点A出发,以2 cm/s 的速度向点B移动,设移动的时间为x s.(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?请说明理由.(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由. 
解析　(1)当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.理由如下:当x=5时,AE=2×5=10(cm),因为AB=25 cm,所以BE=25-10=15(cm).因为DA=15 cm,CB=10 cm,所以BE=AD,AE=BC,在△ADE和△BEC中, 所以△ADE≌△BEC(SAS),所以DE=CE,所以点E在线段CD的垂直平分线上.