初中数学青岛版八年级上册5.5 三角形内角和定理授课课件ppt

这是一份初中数学青岛版八年级上册5.5 三角形内角和定理授课课件ppt，共27页。
知识点3　直角三角形的性质与判定
1.在Rt△ABC中,已知∠ACB是直角,∠B=55°,则∠A的度数是  (　　)A.55°　    B.45°　    C.35°　    D.25°
解析　在△ABC中,因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°,所以 ∠A=90°-∠B=35°,故选C.
2.如图,在△ABC中,AB⊥AC,∠C=55°,点E为BA延长线上一 点,点F为BC边上一点,若∠E=30°,则∠CFE的度数为　　     .
解析　在Rt△ABC中,因为∠BAC=90°,∠C=55°,所以∠B=90 °-∠C=35°.因为∠CFE是△BEF的外角,所以∠CFE=∠B+∠ E=35°+30°=65°.
3.(2023四川攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°, 线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC=     　　    .
解析　在△ABC中,因为∠C=90°,所以∠A+∠ABC=90°,所以 ∠ABC=90°-∠A=50°.因为DE是线段AB的垂直平分线,所以 AE=BE,所以∠EBA=∠A=40°,所以∠EBC=∠ABC-∠EBA=50 °-40°=10°.
4.(2022山东泰安肥城期末)在具备下列条件的△ABC中,是直 角三角形的有　　　    (填序号).①∠A-∠B=∠C;②∠A=3∠C,∠B=2∠C;③∠A=∠B=2∠C;④∠A=∠B= ∠C.
解析　①∠A=∠B+∠C,故2∠A=180°,∠A=90°,是直角三角 形;②∠A+∠B+∠C=3∠C+2∠C+∠C=180°,∠C=30°,得∠A =90°,是直角三角形;③∠A+∠B+∠C=5∠C=180°,∠C=36°, ∠A=∠B=72°,不是直角三角形;④∠A+∠B+∠C=2∠C=180 °,∠C=90°,故是直角三角形.故正确的有①②④.
5.(2023湖北十堰中考)一副三角板按如图所示的位置放置, 点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=　　　    .
解析　在Rt△AEG中,因为∠E=90°,所以∠EAB+∠AGE=90°. 在Rt△BFG中,因为∠B=90°,所以∠BFG+∠BGF=90°.又因为 ∠AGE=∠BGF,所以∠EAB=∠BFG=35°.由题意得∠DFE=4 5°,所以∠DFC=180°-∠BFG-∠DFE=180°-35°-45°=100°.
6.如图,E是△ABC的边AC上一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D. 若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
解析　△ABC是直角三角形,理由如下:因为ED⊥AB,所以∠ADE=90°,△ADE是直角三角形,所以∠1+∠A=90°.因为∠1=∠2,所以∠2+∠A=90°,所以△ABC是直角三角形.
7.(2022山东德州九中月考)如图,在△ABC中,AD,AE分别是 △ABC的高和角平分线.(1)若∠B=30°,∠C=60°,求∠DAE的度数;(2)写出∠DAE与∠C-∠B的数量关系,并证明你的结论.
解析　(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=30°,∠C=60°,所 以∠BAC=180°-30°-60°=90°.因为AE是△ABC的角平分线,所以∠BAE= ∠BAC=45°.因为∠AEC为△ABE的外角,所以∠AEC=∠B+∠BAE=30°+45°=75°.因为AD是△ABC的高,所以∠ADE=90°,所以∠DAE=90°-∠AEC=90°-75°=15°.
(2)∠DAE= (∠C-∠B).证明:由(1)知∠DAE=90°-∠AEC=90°- =90°-∠B- ∠BAC.因为∠BAC=180°-∠B-∠C,所以∠DAE=90°-∠B- (180°-∠B-∠C)= (∠C-∠B).
8.(分类讨论思想)(2024广东省实验中学期中,15,★☆☆)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=50°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为　　　    .
解析　分两种情况:①如图1,因为AD为边BC上的高,所以∠ ADB=90°,又因为∠ABC=50°,所以∠BAD=90°-∠ABC=40°. 因为∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°.②如图2, 因为AD为边BC上的高,所以∠ADB=90°,因为∠ABC=50°,所 以∠BAD=90°-∠ABC=40°.因为∠CAD=20°,所以∠BAC=∠ BAD-∠CAD=20°.综上,∠BAC的度数为20°或60°.
9.(双角平分线模型)(2023山东青岛实验初中期末,14,★★★) 如图,∠ABC=∠ACB,△ABC的内角∠ABC的平分线BD与∠ ACB的邻补角(∠ACF)的平分线交于点D,△ABC的外角∠ MBC的平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:①AD ∥BC;②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④DB平分∠ADC; ⑤∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有　 　　    .(填序 号)
解析　如图,过点D作DG⊥BF于G,DH⊥AB,交BA的延长线 于点H,DP⊥AC于P,过点A作AQ⊥BC于Q. 因为BD是∠ABC的平分线,所以DH=DG.因为CD是∠ACF的 平分线,所以DG=DP,所以DH=DP,所以AD是∠CAH的平分
BQA=90°.所以∠BAQ+∠ABC=90°,所以∠BDC+∠ABC=90°, ③正确.因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC= ∠ABC= × =45°- ∠BAC,而∠BDC= ∠BAC,所以∠ADB与∠BDC不一定相等,所以DB不一定是∠ADC的平分线,④ 不正确.因为BE⊥BD,所以∠E+∠BDC=90°,因为∠BDC= ∠BAC,所以∠E+ ∠BAC=90°,所以2∠E+∠BAC=180°,⑤正确.综上所述,正确的结论有①②③⑤.
10.(2022山东聊城高唐期末,25,★★★)如图1,在△ABC中,∠ ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,AD,CE 相交于点F.(1)求∠AFC的度数;(2)请你写出FE与FD之间的数量关系,并证明;(3)如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而其他条件不变, 试猜想线段AE,CD与AC之间的数量关系,并说明理由.
图1 图2
解析　(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=90°-60°=30°.∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,∴∠FAC=15°,∠FCA=45°,∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠ACF)=120°.(2)FE=FD.理由如下:如图1,在AC上截取CG=CD,连接FG,∵CE平分∠BCA,∴∠DCF=∠GCF.
在△CFG和△CFD中, ∴△CFG≌△CFD(SAS),∴DF=GF,∠CFD=∠CFG.由(1)可知∠AFC=120°,∴∠CFD=180°-∠AFC=60°=∠CFG,∴∠AFG=180°-∠GFC-∠DFC=60°,∠AFE=∠CFD=60°,∴ ∠AFE=∠AFG.∵AD平分∠BAC,∴∠EAF=∠GAF.
在△AFG和△AFE中, ∴△AFG≌△AFE(ASA),∴EF=GF,∴FE=FD.
(3)结论:AC=AE+CD.理由如下:如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.同(2)可得,△EAF≌△GAF,∴∠EFA=∠GFA.
∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠ACB,∴∠FAC+∠FCA= (∠BAC+∠ACB)
∴CD=CG,∴AC=AG+CG=AE+CD.
11.(运算能力)(整体思想)如图所示.  图甲 图乙 图丙 图丁
(1)求图甲中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.(2)如图乙,如果点E向左移动到AD上,计算∠A+∠B+∠C+∠ D+∠BEC的度数.
(3)如图丙,当点E移到AD的左侧时,直接写出∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E的度数.(4)如图丁,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小有变化吗?说明理 由.
解析　(1)如图,∵∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D, ∴∠1+∠2=∠B+∠C+∠D+∠E.又∵∠1+∠2+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠A+∠C,
 ∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠C+∠D.又∵∠1+∠2+∠BEC=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠BEC=180°.(3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(4)没有变化,还是180°.理由:如图,延长CE交AD于点F.