初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例教学演示ppt课件

这是一份初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例教学演示ppt课件，共32页。
知识点2　等腰三角形的性质定理与判定定理
1.(2021山东滨州中考)如图,在△ABC中,点D是边BC上的一 点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的度数为　　　    .
解析　∵AB=AD,∴∠B=∠ADB.∵∠BAD=44°,∴∠B=∠ADB= =68°.∵AD=DC,∴∠C=∠DAC,∵∠ADB=∠C+∠DAC,∴∠C= ∠ADB=34°.
2.(2022浙江温州中考)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥ BC,交AB于点E.(1)求证:∠EBD=∠EDB;(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
解析　(1)证明:因为BD是△ABC的角平分线,所以∠CBD=∠EBD.因为DE∥BC,所以∠CBD=∠EDB,所以∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED,理由如下:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.因为DE∥BC,所以∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,所以∠ADE=∠AED,所以AD=AE,所以CD=BE.
由(1)得∠EBD=∠EDB,所以BE=DE,所以CD=ED.
知识点3　等边三角形的性质定理与判定定理
3.(2023江苏无锡梁溪期中)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地,则A,C两地相距 (　　)A.100海里　    B.80海里
C.60海里　    D.40海里
解析　如图,连接AC.因为B地在A地的南偏西40°方向,C地在B地的北偏西20°方向,所以∠ABD=40°,∠CBD=20°,
所以∠CBA=∠ABD+∠CBD=60°.又因为BC=BA,所以△ABC为等边三角形,所以AC=BC=AB=100海里,故选A.
4.(2024北京人大附中朝阳学校期中)如图,△ABC是等边三角 形,AB=6,AD是BC边上的中线,点E在AC边上,且∠EDA=30°, 则ED的长为　　　    .
解析　因为△ABC是等边三角形,AB=6,所以BC=AB=6,∠ BAC=∠C=60°.因为AD是BC边上的中线,所以AD⊥BC,BD= DC= AB=3,所以∠ADC=90°.因为∠EDA=30°,所以∠EDC=∠ADC-∠EDA=90°-30°=60°,所以∠DEC=180°-∠EDC-∠C= 180°-60°-60°=60°,所以∠EDC=∠DEC=∠C=60°,所以△DEC 为等边三角形,所以ED=CD=3.
5.(2022山东聊城阳谷期末)已知△ABC是等边三角形,点D是 BC边上一动点(点D不与B,C重合),连接AD,以AD为边作∠ ADE=∠ADF,分别交AB,AC于点E,F.(1)如图1,若点D是BC的中点,求证:AE=AF;(2)如图2,若∠ADE=∠ADF=60°,猜测AE与AF的数量关系,并 证明你的猜测.
图1 图2
解析　(1)证明:∵△ABC是等边三角形,D为BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.在△ADE和△ADF中, ∴△ADE≌△ADF(ASA),∴AE=AF.(2)AE=AF,证明如下:如图,过点A作AM⊥DF于点M,作AH⊥DE,交DE的延长线于
点H. ∵∠ADE=∠ADF=60°,∴DA平分∠EDF,又AH⊥DE,AM⊥DF,∴AH=AM.
∵∠ADE=∠ADF=60°,∴∠EDF=120°.∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°,∠BAC=60°,∴∠ AED+∠AFD=180°.∵∠AED+∠AEH=180°,∴∠AEH=∠AFD.在△AHE和△AMF中, ∴△AHE≌△AMF(AAS),∴AE=AF.
知识点4　含30°角的直角三角形的性质(拓展)
6.(2023贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览 会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其 中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 (　　)
A.4 m　    B.6 m　    C.10 m　    D.12 m
解析　作AD⊥BC于点D,在△ABC中,因为∠BAC=120°,AB= AC,所以∠B=∠C= (180°-∠BAC)=30°,又因为AD⊥BC,所以AD= AB= ×12=6(m),故选B.
7.(2023广东广州花都期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为 (　　)A.1.5　    B.2　    C.3　    D.4
解析　因为∠DBC=60°,∠C=90°,所以∠BDC=90°-60°=30°, 所以BD=2BC=2×1=2.因为∠BDC=∠A+∠ABD,∠A=15°,所 以∠ABD=∠BDC-∠A=30°-15°=15°,所以∠ABD=∠A,所以 AD=BD=2.故选B.
8.(2023北京海淀实验中学期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是△ABC的边AB上的高.若AD=2,则BD=　    　    .
解析　因为CD是△ABC的边AB上的高,所以∠ADC=90°.因 为∠B=30°,∠ACB=90°,所以∠A=90°-∠B=60°,所以∠ACD= 90°-∠A=30°.因为AD=2,所以AC=2AD=4,所以AB=2AC=8,所 以BD=AB-AD=8-2=6.
9.(2024北京二中教育集团期中,4,★★☆)如图,在等边△ABC 中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE =1.5,则AB的长为 (　　) A.3　    B.4.5　    C.6　    D.7.5
解析　因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠C=60°,AB= BC=AC.因为DE⊥BC,所以∠DEC=90°,所以∠CDE=90°-∠C =30°.因为EC=1.5,所以CD=2EC=3.因为BD平分∠ABC,所以 AD=CD=3,所以AB=AC=AD+CD=6.故选C.
10.(2024广西南宁三中期中,12,★★☆)如图,过边长为4的等 边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一 点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为 (　　)A. 　    B.2　    C. 　    D. 
解析　过P作PF∥BC交AC于F,则∠PFD=∠QCD,∠AFP=∠ ACB,∠APF=∠B.因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠ ACB=∠B=60°,所以∠A=∠AFP=∠APF=60°,所以△APF是 等边三角形,所以AP=PF=AF.因为PE⊥AC,所以AE=EF.因为 AP=PF,AP=CQ,所以PF=CQ.在△PFD和△QCD中,  所以△PFD≌△QCD(AAS),所以FD=CD.因为AE=EF,所以EF+FD=AE+CD,所以AE+CD=DE= AC=2.故
11.(2024山东滨州滨城期中,15,★★☆)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC