四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，文件包含26届高一数学下期期末考试试卷docx、26届高一数学下期期末考试试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。

一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 z=2-i ,则 z-z=（ ） .
A. 2 B. 2i C. 2 D. 4
2. 若 a=2,a 与 b 夹角为 60∘ ,且 b⊥a-b ,则 b=（ ）.
A. 32 B. 1 C. 3 D. 2
3. 已知 tanα=2,α 为锐角,则 sinα+π4=（ ） .
A. -1010 B. 1010 C. -31010 D. 31010
4. 将函数 fx=sinx 的图象先向左平移 π3 个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 gx 的图象,则 gx 的一条对称轴可能为（ ）.
A. 5π12 B. π12 C. 5π3 D. π3
5. 已知 α,β,γ 是三个不同的平面, m,n 是两条不同的直线,且 α∩β=m ,给出下列四
个命题: ① 若 m//n ,则 n//α 或 n//β ②若 m⊥n ,则 n⊥α 或 n⊥β
③若 α⊥β , γ⊥β ,则 α//γ ④若 γ∩β=n,m//n ,则 γ//α
则上述命题中正确的个数为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（ ）.
A. 23 B. 59 C. 49 D. 13
7. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为 “云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为 224 m3,AB=8 m ,
A1B1=4 m ,则二面角 A1-AB-C 的正切值为（ ）.
A. 3 B. 322 C. 3 D. 32
8. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a=1,A=60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO⋅AG 的最大值是（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 a=1,λ,b=λ+2,3 ,则（ ）.
A. “ λ=1 ” 是 “ a//b ” 的必要条件 B. “ λ=-3 ” 是 “ a//b ” 的充分条件
C. “ λ=-12 ” 是 “ a⊥b ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a⊥b ” 的充分条件
10. 已知一组样本数据 x1,x2,⋯,x20,x1≤x2≤⋯≤x20 下列说法正确的是（ ）.
A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x12
B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数 C. 若样本数据的方差 s2=120i=120xi2-25 ,则这组样本数据的总和为 100
D. 若由 yi=2xii=1,2,⋯,20 生成一组新的数据 y1,y2,⋯,y20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍
11. 如图,在长方体 ABCD-A'B'C'D' 中, AB=BC=2,AA'=4,N 为棱 C'D' 中点,
D'M=12,P 为线段 A'B 上一动点,下列结论正确的是（ ）.
A. 线段 DP 长度的最小值为 655
B. 存在点 P ,使 AP+PC=23
C. 存在点 P ,使 A'C⊥ 平面 MNP
D. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB'C 所截的截面面积为 6π
三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .
13. 已知三棱锥 A-BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A-BCD 的外接球表面积为 .
14. 在 △ABC 中, AB⊥AC,AB=4,AC=3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 PQ=2 ,且 AQ=mAB+nAC ,则 2m+n 的最大值为 .
四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA1 的中点,点 F 在 AB 上.
(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A1D1C ;
(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A1C 所成角的余弦值.
16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为 “公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成 [45,55),[55,65),⋯,85,95 五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(I) 求图中 a 的值;
(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);
(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数 x
(每组数据以区间的中点值为代表).
17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.
已知在每回合中,甲获胜的概率均为 23 ,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.
(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;
(II) 求第二回合中有选手得分的概率;
(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.
18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a=4,c=2 , asinA+csinC=2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD=13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M、N 两点.
(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;
(II) 求 BD 的长;
(III) 求 BM⋅BN 的最小值.
19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中, ∠ABC=90∘ ,四边形 ABB1A1 是菱形, D 为 AB 中点, A1D⊥ 平面 ABC ,点 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3,AA1 与 CC1 的距离为 2 .
(I) 求证: CB⊥ 平面 ABB1A1 ;
(II) 求 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值;
(III) 若 E,F 分别为 AA1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B1EF 所截的截面面积.