第22章 一元二次方程 单元测试卷（试卷）2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

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第22章 单元测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列是一元二次方程的是(　　)A．2x2－x－3＝0 B．x2－2x＋x3＝0 C．x2＋eq \r(x)＝0 D．x2＋eq \f(3,x)＝52．已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)A．4 B．－4 C．3 D．－33．用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝54．关于x的一元二次方程2x2－3x＋eq \f(3,2)＝0根的情况，下列说法中正确的是(　　)A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定5．若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)A．－9 B．－eq \f(9,4) C．eq \f(9,4) D．96．已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则eq \r((k－1)2)－(eq \r(2－k))2的化简结果是(　　)A．－1 B．1 C．－1－2k D．2k－37．如图的六边形是由甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成的，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为(　　) A．1 B．eq \f(6,5) C．4－2eq \r(3) D．8－4eq \r(3)8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)9．若整数a使得关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋2ax＋a－1＝0有实根，且关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－x＜0，,x＋2≤\f(1,2)(x＋7)))有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为(　　)A．3 B．4 C．5 D．610．如图，直线y＝x＋1，y＝x－1与双曲线y＝eq \f(k,x)(k＞0)分别相交于点A，B，C，D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是(　　)A．eq \f(3,4) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(4,5) D．1二、填空题(每题3分，共24分)11．一元二次方程3x2＋1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是________．12．α，β是关于x的方程x2－x＋k－1＝0的两个实数根，且α2－2α－β＝4，则k的值为________．13．已知t2－3t＋1＝0，则t＋eq \f(1,t)＝________．14．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．15．已知a≠b，且a2－13a＋1＝0，b2－13b＋1＝0，那么eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a2＋a,a2＋2a＋1)＝________．16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－ c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．17．将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：________________(不必化简)．18．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq \r(2).过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝eq \f(1,3)CD，连结AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝________．(结果保留根号)三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；　　　 (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－3＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.20．如果一个三角形两边的长分别为a，b，且为一元二次方程x2－17x＋k＝0的两个实数根，若a＝11.(1)k值是多少？(2)第三边的长可能是20吗？为什么？21．已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0的根为x1，x2.(1)若x1＝4，求x2及m的值；(2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值．22．关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：a2＋ma＝1，b2－2mb＝4，且b≠－2a，求ab的值；(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2＋np－1＝q，q2＋nq－1＝p，求pq－n的值．23．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长为50米，宽为32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个相同的矩形花坛，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多15米，铺设地砖的面积约是1 125平方米．(π取3)(1)求矩形花坛的宽．(2)四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费为100元，乙工程队每平方米施工费为120元．若完成此工程的工程款不超过42 000元，至少要安排甲工程队施工多少平方米？24．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，它们的速度都是2 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t s，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是以∠PQB为直角的直角三角形？(2)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的eq \f(2,3)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案一、1．A 【点拨】A．是一元二次方程，符合题意；B．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；C．不是一元二次方程，不符合题意；D．不是整式方程，不符合题意．故选A .2．B　3．A4．C 【点拨】由方程2x2－3x＋eq \f(3,2)＝0可知，a＝2，b＝－3，c＝eq \f(3,2)，∴Δ＝(－3)2－4×2×eq \f(3,2)＝－3＜0.∴方程没有实数根，故选C.5．C6．A 【点拨】∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理，得－8k＋8≥0，∴k≤1.∴k－1≤0，2－k＞0.∴eq \r((k－1)2)－(eq \r(2－k))2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.故选A.7．D 【点拨】设乙的直角边长为x.依题意得4x＋4x＝eq \f(1,2)×42＋eq \f(1,2)x2，整理可得 x2－16x＋16＝0，解得x＝8±4eq \r(3).∵8＋4eq \r(3)＞4，不合题意，舍去，8－4eq \r(3)＜4，符合题意，∴x＝8－4eq \r(3).故选D.8．B　9．C10．A 【点拨】如图，连结四边形ABCD的对角线AC，BD，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，设直线y＝x－1与x轴交于点M.易得四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，∴S△COD＝eq \f(1,4)S四边形ABCD＝1＝eq \f(1,2)OM·(DE＋CF)．∵直线y＝x－1与x轴交于点M，∴M(1，0)．∴OM＝1.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝\f(k,x)，))即y＝eq \f(k,y)－1，则y2＋y－k＝0.由k＞0，解得y＝eq \f(－1±\r(1＋4k),2).∴eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(1＋4k),2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(1＋4k),2)))))＝1，即eq \r(4k＋1)＝2，解得k＝eq \f(3,4)，故选A.二、11．3，－6，112．－4 【点拨】∵α，β是方程x2－x＋k－1＝0的根，∴α2－α＋k－1＝0，α＋β＝1.∴α2－α＝－k＋1.∴α2－2α－β＝α2－α－(α＋β)＝－k＋1－1＝－k＝4.∴k＝－4.13．314．2 【点拨】∵关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1＋x2＝－eq \f(－3,1)＝3，x1x2＝eq \f(1,1)＝1.∴x1＋x2－x1x2＝3－1＝2.15．1 【点拨】∵a2－13a＋1＝0，b2－13b＋1＝0，a≠b，∴a，b可以看成是方程变为t2－13t＋1＝0的两个实数根．∴a＋b＝13，ab＝1.∴eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a2＋a,a2＋2a＋1)＝eq \f(b,1＋b)＋eq \f(a(a＋1),(a＋1)2)＝eq \f(b,b＋1)＋eq \f(a,a＋1)＝eq \f(b(a＋1)＋a(b＋1),(a＋1)(b＋1))＝eq \f(2ab＋a＋b,ab＋a＋b＋1)＝eq \f(2×1＋13,1＋13＋1)＝1.16．直角17．15x(10－x)＝36018．eq \r(7)＋1 【点拨】如图，过E作EQ⊥CA，交CA的延长线于点Q.设BE＝x，AE＝y. ∵BE＝eq \f(1,3)CD，ED＝2AE，∴CD＝3x，DE＝2y.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq \r(2)，∴BC＝eq \r(2)AB＝6.∴CE＝6＋x.易得△CQE为等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝eq \f(\r(2),2)CE＝eq \f(\r(2),2)(6＋x)＝3eq \r(2)＋eq \f(\r(2),2)x.∴AQ＝eq \f(\r(2),2)x.由勾股定理可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((2y)2＝(6＋x)2＋(3x)2，,y2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)＋\f(\r(2),2)x))\s\up12(2)，))整理，得x2－2x－6＝0，解得x＝1±eq \r(7).经检验，x＝1－eq \r(7)不符合题意，∴BE＝x＝1＋eq \r(7).三、19．【解】(1)原方程可化为(x－4)(x＋5)＝0，∴x－4＝0或x＋5＝0，解得x1＝4，x2＝－5.(2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0，即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－eq \f(3,2).(3)原方程可化为(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.因式分解，得y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.20．【解】(1)∵a，b为一元二次方程x2－17x＋k＝0的两个实数根，∴a＋b＝17，ab＝k.∵a＝11，∴b＝17－11＝6.∴k＝ab＝11×6＝66.(2)不可能．理由：∵两边长分别为6和11，20＞6＋11，∴第三边的长不可能是20.21．【解】(1)把x＝4代入方程x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0，得16－4(m＋1)＋ 3(m－2)＝0，解得m＝6.当m＝6时，原方程可化为x2－7x＋12＝0，则(x－4)(x－3)＝0.所以x－4＝0或x－3＝0.所以x1＝4，x2＝3.(2)因为x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0，所以[x－(m－2)](x－3)＝0.所以x－(m－2)＝0或x－3＝0.所以x1＝m－2，x2＝3.当m－2＝3时，解得m＝5，此时等腰三角形三边长为3，3，5，符合三角形三边的关系；当m－2＝5时，解得m＝7，此时等腰三角形三边长为5，5，3，符合三角形三边的关系．综上所述，m的值为5或7.22．【解】(1)依据题意，将m＝1代入x2＋mx－1＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝eq \f(－1±\r(5),2).∵方程的正根为黄金分割数，∴黄金分割数为eq \f(－1＋\r(5),2).(2)∵b2－2mb＝4，a2＋ma＝1，∴b2－2mb－4＝0，a2＋ma－1＝0.∴eq \f(b2,4)－eq \f(mb,2)－1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))eq \s\up12(2)＋m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))－1＝0.又∵b≠－2a，∴a，－eq \f(b,2)是一元二次方程x2＋mx－1＝0的两个根．∴a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))＝－1.∴ab＝2.(3)∵p2＋np－1＝q，q2＋nq－1＝p，∴(p2＋np－1)＋(q2＋nq－1)＝q＋p，即(p2＋q2)＋n(p＋q)－2＝p＋q.∴(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q.易得(p2＋np－1)－(q2＋nq－1)＝q－p，∴(p2－q2)＋n(p－q)＝－(p－q)，即(p－q)(p＋q＋n＋1)＝0.∵p，q为两个不相等的实数，∴p－q≠0.∴p＋q＋n＋1＝0.∴p＋q＝－n－1.又∵(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q，∴(－n－1)2－2pq＋n(－n－1)－2＝－n－1，即pq－n＝0.23．【解】(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x＋15)米．依题意得50×32－4x·(x＋15)－3×(10÷2)2＝1 125，整理，得x2＋15x－100＝0，解得x1＝5，x2＝－20(不合题意，舍去)．答：矩形花坛的宽是5米．(2)设安排甲工程队施工y平方米，则安排乙工程队施工[4×5×(5＋15)－y]＝ (400－y)(平方米)．依题意得100y＋120(400－y)≤42 000，解得y≥300.答：至少要安排甲工程队施工300平方米．24．【解】(1)由题意得AP＝2t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝AB－AP＝(6－2t) cm.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.当点P到达点B时，t＝eq \f(AB,2)＝3，则0