第23章 图形的相似 单元测试卷（试卷）-2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

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第23章单元测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1.在下面的图形中，相似的一组是(　　)A. B. C. D.2．如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　)A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2(第2题)　(第4题)　(第5题)　(第7题)3．已知长度分别为2，3，4，x的四条线段成比例，则x的值不可能是(　　)A．6 B.eq \f(3,2) C．8 D.eq \f(8,3)4．如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，已知AB的长为10 mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上20份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE的长度是(　　)A．5 mm B.eq \f(10,3) mm C.eq \f(5,2) mm D．2 mm5．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD(点A的对应点为点C)，CD与AB的相似比为eq \f(1,3)，则点C的坐标为(　　)A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)6．在平面直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝(　　)A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且∠ADE＝60°，若AD＝6，eq \f(BD,CE)＝eq \f(3,2)，则DE的长为(　　)A.eq \f(9,2) B．9 C.eq \f(8,3) D．48．如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，连结DE.给出下列结论：①eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)；②eq \f(S△DOE,S△COB)＝eq \f(1,2)；③eq \f(AD,AB)＝eq \f(OE,OB)；④eq \f(S△DOE,S△ADE)＝eq \f(1,3).其中正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(第8题)　　　(第10题)　　　二、填空题(每题3分，共18分)9．已知△ABC∽△DEF，相似比为12，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为________．10．如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．11．如图①是用杠杆撬石头的实物图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上抬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9 cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C端向下压________cm.(第11题)12．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，连结MN.已知AB＝10，BC＝15，MN＝4，则△ABC的周长是________．(第12题)　　(第13题)　　13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－4，0)，B(0，2)，连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(－5，2)，N(－1，2)，已知点M在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n＞1)．(第14题)(1)k的值为________；(2)若在线段M′N′上总有在反比例函数y＝eq \f(k,x)图象上的点，则n的最大值为________．三、解答题(15题6分，16题8分，17，18题每题10分，19，20题每题12分，共58分)15．已知x：y＝0.5：0.3，y：z＝eq \f(1,5)：eq \f(1,2)，求x：y：z.16．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝(2＋2 eq \r(3)) cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求：(第16题)(1)∠B的度数；(2)AD的长．17．西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2 m，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86 m，小明眼睛到地面的距离AE为1.5 m，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．(平面镜的大小忽略不计)(第17题)18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，－2)，B(3，－4)，C(6，－3)．(1)在图中画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；(2)以点M(1，2)为位似中心，在图中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为21.(第18题)19．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为这个三角形的“自相似分割线”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，若点D在边BC上，且eq \f(BD,CD)＝k(k＜1)．(1)在图中求作AD，使AD是△ABC的自相似分割线(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(第19题)(2)在(1)的条件下，求k的值．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.(1)图①中共有________对相似三角形，分别为______________________________________________________________________________________________(不需证明)；(2)已知AB＝10，AC＝8，求CD的长；(3)在(2)的条件下，如果以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系，如图②，若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点到达线段的另一个端点时，两点同时停止运动．设运动时间为t s，是否存在点P，使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第20题)答案一、1.C　2.A　3.C　4.B　5.A　6.C　7.D8．C　点拨：由题意得DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq \f(1,2)BC，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)，故①正确；∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴eq \f(S△DOE,S△COB)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,BC)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故②错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC).∵△DOE∽△COB，∴eq \f(OE,OB)＝eq \f(DE,BC)，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(OE,OB)，故③正确；∵△ABC的中线BE，CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心的性质，可得到OE＝eq \f(1,3)BE，∴S△DOE＝eq \f(1,3)S△BDE，易知S△ADE＝S△BDE，∴S△DOE＝eq \f(1,3)S△ADE，∴eq \f(S△DOE,S△ADE)＝eq \f(1,3)，故④正确．故选C.二、9.8　10.eq \f(15,2)　11.27　12.43　13.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(8,3)))　14．(1)－10　(2)eq \r(5)　三、15.解：∵x：y＝0.5：0.3＝5：3＝10：6，y：z＝eq \f(1,5)：eq \f(1,2)＝2：5＝6：15，∴x：y：z＝10：6：15.16．解：(1)∵△ABC∽△DEC，∴∠A＝∠D＝45°.∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵△ABC∽△DEC，∴eq \f(AC,DC)＝eq \f(BC,EC).∵AC＝(2＋2 eq \r(3)) cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm，∴eq \f(2＋2 \r(3),DC)＝eq \f(4,6)，∴DC＝(3＋3 eq \r(3)) cm，故AD＝(5＋5 eq \r(3)) cm.17．解：由题意易得∠EBA＝∠DBC，∵AE⊥AC，CD⊥AC，∴∠EAB＝∠DCB＝90°，∴△EAB∽△DCB，∴eq \f(EA,CD)＝eq \f(AB,CB)，∴eq \f(1.5,CD)＝eq \f(2,86)，∴CD＝64.5 m.答：大雁塔CD的高度为64.5 m.18．解：(1)如图，△A1B1C1即为所作．(2)如图，△A2B2C2即为所作．(第18题)19．解：(1)如图，直线AD即为所求．(第19题)(2)∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，由作图可知DB＝DA，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠BAD＝∠C，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝108°－36°＝72°，∠CDA＝∠B＋∠BAD＝36°＋36°＝72°，∴∠CDA＝∠CAD，∴CD＝CA＝1，设BD＝x，则BC＝x＋1.∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△BCA，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BD,BA)，∴eq \f(1,x＋1)＝eq \f(x,1)，∴x2＋x－1＝0，∴x＝eq \f(－1＋\r(5),2)(负值已舍去)，∴BD＝eq \f(\r(5)－1,2)，∴k＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(\r(5)－1,2).20．解：(1)3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD(2)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝6.∵△ABC的面积为eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(8×6,10)＝4.8.(3)存在点P，使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．由题意得CP＝BQ＝t，∴BP＝6－t.在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝eq \r(BC2－OC2)＝3.6.分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图①，此时△PQB∽△ACB，则eq \f(BP,BA)＝eq \f(BQ,BC)，∴eq \f(6－t,10)＝eq \f(t,6)，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝6－2.25＝3.75，OQ＝OB－BQ＝3.6－2.25＝1.35.在△BPQ中，PQ＝eq \r(BP2－BQ2)＝eq \r(3.752－2.252)＝3，∴点P的坐标为(1.35，3)；②当∠BPQ＝90°时，如图②，此时△QPB∽△ACB，则eq \f(BP,BC)＝eq \f(BQ,BA)，∴eq \f(6－t,6)＝eq \f(t,10)，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，∴BP＝6－3.75＝2.25.过点P作PE⊥x轴于点E，则PE∥CO，∴△BPE∽△BCO，∴eq \f(PE,CO)＝eq \f(BP,BC)，即eq \f(PE,4.8)＝eq \f(2.25,6)，∴PE＝1.8.在△BPE中，BE＝eq \r(BP2－PE2)＝eq \r(2.252－1.82)＝1.35，∴OE＝OB－BE＝3.6－1.35＝2.25，∴点P的坐标为(2.25，1.8)．综上，点P的坐标为(1.35，3)或(2.25，1.8)．(第20题)题序12345678答案