第23章 图形的相似 单元测试卷（试卷）2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

这是一份第23章 图形的相似 单元测试卷（试卷）2024-2025学年华东师大版九年级数学上册，共14页。

第23章单元测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若eq \f(a,5)＝eq \f(b,8)，则eq \f(a,b)等于(　　)A．eq \f(8,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(5,8)2．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(　　)A．eq \f(AC,CE)＝eq \f(BD,DF) B．eq \f(AC,AE)＝eq \f(BD,BF) C．eq \f(BD,CE)＝eq \f(AC,DF) D．eq \f(AE,CE)＝eq \f(BF,DF)3．如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为(　　)A．4 B．9 C．12 D．13.54．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为(　　)A．4 B．5 C．6 D．75．在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2，1)的对应点A′的坐标为(－2，－3)，则点B(－2，3)的对应点B′的坐标为(　　)A．(6，1) B．(3，7) C．(－6，－1) D．(2，－1)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝eq \r(3)x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y＝eq \f(k,x)在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为(2，0)，eq \f(CA,AB)＝eq \f(1,2)，则k的值是(　　) A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．48．已知点M(－4，a－2)，N(－2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(　　)A．2 B．3 C．4 D．510．如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E.DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ；②BQ＝3；③BP＝eq \f(15,8)；④BD∥FQ.正确的是(　　)A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.12．如果两个相似三角形的周长比为1∶6，那么这两个三角形的面积比为________．13．如图，△ABO的顶点坐标是A(2，6)，B(3，1)，O(0，0)，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的eq \f(1,3)，得到△A′B′O，则点A′的坐标为________．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD为________．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P，Q分别在AB和AC上，PQ∥BC，M为PQ上一点，且满足PM＝2MQ.连结AM，DM，若MA＝MD，则AP的长为________．16．如图①是液体沙漏的立体图形，上下底面平行，液体沙漏某一时刻的平面示意图如图②，图③，则图③中AB＝________cm.17．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为________．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象上，点O，E的对应点分别是点C，A．若点A为OE的中点，且S△EAF＝eq \f(1,4)，则k的值为________．三、解答题(19，20，21，22题每题13分，23题14分，共66分)19．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树与教学楼的距离BC为5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高为1.4 m的竹竿在水平地面上的影子长为1 m，求这棵大树AB的高度．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2∶1放大后的位似图形△A2B2C2；(3)利用网格和无刻度的直尺作出△ABC的中线AD(保留作图痕迹)．21．如图，点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8.(1)求反比例函数的表达式；(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线y＝2x＋b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．22．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD， ∠B＝∠CED．(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝9∶16，BC＝12，求EC的长．23．如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：AF＝AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．答案一、1．D 【点拨】∵eq \f(a,5)＝eq \f(b,8)，∴8a＝5b，∴eq \f(a,b)＝eq \f(5,8)，故选D.2．C3．B 【点拨】∵△ABC∽△EDC，∴AC∶EC＝AB∶DE.∵AC∶EC＝2∶3，AB＝6，∴2∶3＝6∶DE，∴DE＝9，故选B.4．C　5．C6．C 【点拨】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥OA，∴△BOA∽△BDC，∴eq \f(CD,AO)＝eq \f(BC,BA).∵eq \f(CA,AB)＝eq \f(1,2)，A(2，0)，∴eq \f(BC,BA)＝eq \f(3,2)，AO＝2，∴eq \f(CD,2)＝eq \f(3,2)，解得CD＝3.∵点A(2，0)在y＝eq \r(3)x＋b上，∴2eq \r(3)＋b＝0，解得b＝－2eq \r(3)，∴直线AB的表达式为y＝eq \r(3)x－2eq \r(3).当x＝3时，y＝eq \r(3)，即C(3，eq \r(3))．又∵直线AB与反比例函数y＝eq \f(k,x)在第一象限内的图象交于点C，∴k＝3eq \r(3)，故选C.7．A 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝6，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，DO＝BO，∴∠CDP＝∠APD.∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.∵E是PD的中点，∴OE＝eq \f(1,2)BP＝1，故选A.8．B 【点拨】∵N(－2，a)，P(2，a)，∴N，P关于y轴对称，∴选项A，C错误．∵M(－4，a－2)，N(－2，a)在同一个函数图象上，∴选项D错误，选项B正确．故选B.9．B10．A 【点拨】∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AD.由折叠的性质可知，∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5.∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠QEF，∴∠QDF＝∠QEF，∴DQ＝EQ＝5，故①正确．∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB，∴MQ＝AM＝4.∵MB＝AB－AM＝5－4＝1，∴BQ＝MQ－MB＝4－1＝3.故②正确．∵CD∥AB，∴△CDP∽△BQP，∴eq \f(CP,BP)＝eq \f(CD,BQ)＝eq \f(5,3).∵CP＋BP＝BC＝5，∴BP＝eq \f(3,8)BC＝eq \f(15,8)，故③正确．∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴eq \f(DF,EF)＝eq \f(CD,BE)＝eq \f(CD,BQ＋QE)＝eq \f(5,3＋5)＝eq \f(5,8)，∴eq \f(EF,DE)＝eq \f(8,13).∵eq \f(QE,BE)＝eq \f(5,8)，∴eq \f(EF,DE)≠eq \f(QE,BE)，∴BD与FQ不平行，故④错误．正确的是①②③，故选A.二、11．160　12．1∶3613．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－2)) 【点拨】∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的eq \f(1,3)，得到△A′B′O，A(2，6)，∴当△A′B′O在第一象限时，点A′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×2，\f(1,3)×6))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))；当△A′B′O在第三象限时，点A′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×2，－\f(1,3)×6))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－2)).综上可知，点A′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－2)).14．eq \f(2\r(3),3)15．3 【点拨】设AP的长为x，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴eq \f(AP,AB)＝eq \f(PQ,BC).又∵AB＝4，BC＝6，∴PQ＝eq \f(3,2)x.又∵PM＝2MQ，∴PM＝x，MQ＝eq \f(1,2)x，∴PM＝PA.又∵∠APM＝90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM＝eq \r(2)x，∠PAM＝45°，∴∠DAM＝45°.又∵MA＝MD，∴∠ADM＝∠DAM＝45°，∴△MAD是等腰直角三角形，∴AD＝eq \r(2)AM，即6＝eq \r(2)·eq \r(2)x，∴x＝3，∴AP＝3.16．eq \f(8,3) 【点拨】设沙漏的锥点为点D，上端的右端点记作F，左端点记作M，下端的右端点记作H，过点D作DC⊥AB交AB于点C，交上底边于点E，交下底边于点G. ∵AB∥EF∥GH，∴DE⊥EF，DG⊥GH，△ABD∽△MFD，∴eq \f(AB,MF)＝eq \f(DC,DE).∵EG＝12 cm，DG＝6 cm，CE＝12－10＝2(cm)，MF＝4 cm，∴DE＝6 cm，DC＝4 cm，∴eq \f(AB,4)＝eq \f(4,6)，∴AB＝eq \f(8,3) cm.17．1618．－6 【点拨】如图，连结BO，设对称轴MN与x轴交于点G.∵△ODE与△CBA关于对称轴MN对称，∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO.∵点A为OE的中点，设AG＝EG＝a，则EC＝AO＝AE＝2a，∴AC＝EO＝4a.∵S△EAF＝eq \f(1,4)，∴S△EGF＝eq \f(1,2)S△EAF＝eq \f(1,8).∵GF∥OD，∴△EFG∽△EDO，∴eq \f(S△EGF,S△EOD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EG,EO)))eq \s\up12(2)，即eq \f(\f(1,8),S△EOD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4a)))eq \s\up12(2)，∴S△EOD＝eq \f(1,8)×16＝2，∴S△ACB＝2.∵AC＝4a，AO＝2a，∴S△AOB＝eq \f(1,2)S△ACB＝1，∴S△OCB＝S△ACB＋S△AOB＝2＋1＝3，∴eq \f(1,2)|k|＝3，∴|k|＝6.∵k＜0，∴k＝－6.三、19．【解】如图所示，过D作DE⊥AB于E，则BE＝CD＝2 m，DE＝BC＝5 m. ∵同一时刻物高和影长成正比，∴eq \f(1,1.4)＝eq \f(5,AE)，∴AE＝7 m，∴AB＝AE＋BE＝7＋2＝9(m)，故这棵大树AB的高度为9 m.20．【解】(1)如图，△A1B1C1为所求作．(2)如图，△A2B2C2为所求作．(3)如图，AD为所作．21．【解】(1)∵点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上，∴设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(k,m))).∵点C是点A关于y轴的对称点，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－m，\f(k,m))).∵△OAC的面积是8，∴eq \f(1,2)(m＋m)eq \f(k,m)＝8，解得k＝8，∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(8,x).(2)当点A的横坐标为2时，yA＝eq \f(8,2)＝4，即点A的坐标为(2，4)，则C(－2，4)．∵直线y＝2x＋b过点C，∴－4＋b＝4，∴b＝8，∴直线表达式为y＝2x＋8，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(8,x)，,y＝2x＋8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2\r(2)，,y＝4＋4\r(2)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－2\r(2)，,y＝4－4\r(2)，))经检验，符合题意．∴交点P的坐标为(－2＋2eq \r(2)，4＋4eq \r(2))或(－2－2eq \r(2)，4－4eq \r(2))．22．(1)【证明】∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即 ∠ACB＝∠DCE.∵∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC.(2)【解】∵△ABC∽△DEC，∴eq \f(S△ABC,S△DEC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,EC)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16)，∴eq \f(BC,EC)＝eq \f(3,4).∵BC＝12，∴eq \f(12,EC)＝eq \f(3,4)，∴EC＝16.23．(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAF＝∠D.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∴AF＝AB.(2)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝AF＝FG＋GA＝8，DC∥FA，∴∠DCF＝∠F，∠DCG＝∠CGB.∵∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴GC＝GF＝6.∵∠DHC＝∠AHG，∠DCG＝∠CGB，∴△AGH∽△DCH，∴eq \f(GH,CH)＝eq \f(AG,DC).设HG＝x，则CH＝CG－GH＝6－x，可得方程eq \f(x,6－x)＝eq \f(2,8)，解得 x＝eq \f(6,5)，即GH的长为eq \f(6,5).