九年级上册24.4 解直角三角形单元测试当堂达标检测题

这是一份九年级上册24.4 解直角三角形单元测试当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠BAC的值是( )
A．1 B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(1,2) D．2
(第1题)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4.下列结论正确的是( )
A．tan B＝0.75 B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8 D．cs B＝0.8
3．已知锐角α，且sin α＝cs 37°，则α等于( )
A．37° B．63° C．53° D．45°
4．三角尺是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角尺可以拼出很多角．现将一副含45°角和30°角的三角尺按如图所示的方式放置，则sin 2∠AOB的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．无法确定
(第4题) (第5题)
5．16兆瓦海上风电机组标志着我国海上风电大容量机组研发制造及运营能力再上新台阶．如图，机组叶片OA的长度达到惊人的123 m，叶片的旋转中心O离海平面的垂直高度为h m，以旋转中心所在水平线为基准，叶片OA的旋转角为α，当0°<α<90°时，点A离海平面的垂直高度可表示为( )
A．(h＋123 tan α)m B．(h＋123 cs α)m
C．(h＋123 sin α)m D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＋\f(123,sin α)))m
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子正确的是( )
A．sin A＋sin B<1 B．sin A＋sin B>1
C．sin A＋sin B＝1 D．sin A＋sin B≤1
7．如图，某型号汽车开门时，车门与车身的展开角度∠BAC最大为62°.若车门宽度AC＝AB＝90 cm，则司机恰好进入车体时他身体的宽度BC的最大值约为(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 31°≈0.52，cs 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)( )
A．99.2 cm B．98.6 cm C．95.8 cm D．93.6 cm
(第7题) (第8题)
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1.延长CB到点D，使BD＝AB，连结AD，得∠D＝15°，所以易得tan 15°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,2＋\r(3))＝eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq \r(3).类比这种方法，计算tan 22.5°的值为( )
A.eq \r(2)＋1 B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.eq \f(1,2)
(第9题) (第10题)
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cs B＝eq \f(1,4)，D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE(AE＝ED)，使∠ADE＝∠B，连结CE，则eq \f(CE,AD)的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(15),2) D．2
二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
11．计算：2cs 45°＝________．
12．某水库大坝，其坡面AB的坡度i＝1eq \r(3)，则坡角的度数为________．
13．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝1，则sin B＝________．
14．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为7.5，则∠ACB的正切值为________．
15．将一个装有水的圆柱形杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α＝37°时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度BC＝6 cm，则水面宽度EF约为________cm.(参考数据：sin 37°≈eq \f(3,5)，cs 37°≈eq \f(4,5)，tan 37°≈eq \f(3,4))
(第15题) (第16题)
16．如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝eq \f(4,5).过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连结CE，则sin∠BCE＝__________．
三、解答题(本题共7小题，共70分)
17．(8分)计算：sin2 45°－eq \f(cs 30°,tan 45°)＋2sin2 60°tan 60°.
18．(8分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin B－ \f(\r(3),2)))＝0，试判断△ABC的形状．
19.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
(第19题)
20．(10分)如图，已知矩形ABCD.
(1)尺规作图：在BC上方作△FBC，使得FB＝FC，且点F与点A关于过点B的直线对称；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，BC＝5，求sin∠ABF的值．
(第20题)
21．(10分)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示．
(1)如图②，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β.
(2)如图③，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20 m，求气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(第21题)
22．(12分)如图①，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A(1)，即三角形的面积等于两边长与夹角正弦值之积的一半．
如图②，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝α，∠DCB＝β.
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，∴eq \f(1,2)AC·BC·sin(α＋β)＝eq \f(1,2)AC·CD·sin α＋eq \f(1,2)BC·CD·sin β，即AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sin α＋BC·CD·sin β(2)．
你能消去(2)中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解答过程，并利用结论求出sin 75°的值．
(第22题)
23．(14分)如图，在等边三角形ABC中，D为边AB上一点(点D不与点A、B重合)，连结CD，将CD平移到BE(其中点B和点C对应)，连结AE.将△BCD绕着点B按逆时针方向旋转至△BAF，延长AF交BE于点G，连结DF.
(1)求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求tan∠AEB的值．
(第23题)
答案
一、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B
10．D
二、11.eq \r(2) 12.30° 13.eq \f(\r(2),2) 14.3或eq \f(1,3) 15.10 16.eq \f(9 \r(10),50)
三、17.解：原式＝(eq \f(\r(2),2))2－eq \f(\r(3),2)＋2×(eq \f(\r(3),2))2×eq \r(3)＝eq \f(1,2)＋eq \r(3).
18．解：∵(1－tan A)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin B－\f(\r(3),2)))＝0，
∴tan A＝1，sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
19．(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，
∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°.
∵∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD.
(2)解：由题意，得BE＝eq \f(AE,tan∠ABC)＝eq \r(3)，EC＝eq \f(AE,tan C)＝3，
∴BC＝3＋eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE＝eq \f(9＋3 \r(3),2).
20．解：(1)如图所示，△FBC就是所求作的三角形.
(第20题)
(2)由(1)得FB＝FC＝AB＝3.
如图，过点F作FG⊥BC于点G，
∴BG＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，∠FGB＝90°.
∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＋∠FBG＝90°.
又∵∠BFG＋∠FBG＝90°，∴∠ABF＝∠BFG.
在Rt△FBG中，sin∠BFG＝eq \f(BG,BF)＝eq \f(5,6)，
∴sin∠ABF＝sin∠BFG＝eq \f(5,6).
21．解：(1)β＝90°－α.
(2)由题意知AD⊥BD，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，易得CD＝AD，
在Rt△ABD中，∠ABD＝37°，
∴tan∠ABD＝tan 37°＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(AD,CD＋20)＝eq \f(AD,AD＋20)，
即0.75≈eq \f(AD,AD＋20)，解得AD≈60 m，
∴气球A离地面的高度AD约为60 m.
22．解：能消去(2)中的AC、BC、CD.
将AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sin α＋BC·CD·sin β两边同除以AC·BC，得
sin(α＋β)＝eq \f(CD,BC)·sin α＋eq \f(CD,AC)·sin β.
又∵cs β＝eq \f(CD,BC)，cs α＝eq \f(CD,AC)，
∴sin(α＋β)＝sin α cs β＋cs α sin β.
∴sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30° cs 45°＋cs 30° sin 45°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
23．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
∵△BCD绕着点B按逆时针方向旋转至△BAF，
∴∠FBD＝∠ABC＝60°，BF＝BD，
∴△BDF是等边三角形．
(2)证明：连结DE，如图．
∵△BDF是等边三角形，∴∠BDF＝60°.
∵CD平移到BE(其中点B和点C对应)，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠BDE＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BDF，
∴点F在DE上，即D、F、E三点共线．
(3)解：延长AG、CB交于点H, 如图．
∵EF∥BC，∴△GEF∽△GBH，∴eq \f(EF,BH)＝eq \f(EG,BG).
∵BG＝2EG，∴BH＝2EF.
∵ED＝BC＝AB, DF＝BD，∴EF＝AD.
设AB＝a，BD＝b, ∴EF＝AD＝a－b,
∴BH＝2a－2b.
∵DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，
∴eq \f(DF,BH)＝eq \f(AD,AB)，即eq \f(b,2a－2b)＝eq \f(a－b,a)，
解得a＝2b或a＝eq \f(1,2)b∴AB＝2BD，即D为AB的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴CD＝eq \r(BC2－BD2)＝eq \r(3)b，∴BE＝CD＝eq \r(3)b.
∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(2b,\r(3)b)＝eq \f(2 \r(3),3).
(第23题)
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案