青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)证明三角形全等的五大基本模型课件

这是一份青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)证明三角形全等的五大基本模型课件，共26页。
证明三角形全等的五大基本模型专项素养巩固训练卷(二)　类型一　一线三等角全等模型1. (2024山东菏泽曹县期中,25,★☆☆)如图,点C在BE上,∠B=∠E=∠ACF,AB=CE,说明AC=CF的理由.  解析　因为∠BCF=∠E+∠CFE,∠BCF=∠ACF+∠ACB,∠ACF=∠E,所以∠ACB=∠CFE.在△ABC和△CEF中, 所以△ABC≌△CEF(AAS),所以AC=CF.方法解读　当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角”全等模型.使用时,找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和及外角性质进行等角代换,进而判定三角形全等.2. (2024山东聊城东阿三中月考,19,★★☆)如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.(1)说明△ACD与△BEC全等的理由.(2)说明AB=AD+BE的理由.  解析    (1)因为∠DCE=∠A,所以180°-∠DCE=180°-∠A,所以∠D+∠ACD =∠ACD+∠BCE,所以∠D =∠BCE.在△ACD和△BEC中, 所以△ACD≌△BEC(AAS).(2)由(1)得△ACD≌△BEC,所以AD=BC , AC=BE,所以AC+BC=AD+BE,即AB=AD+BE.3. (学科素养　应用意识)(★★☆)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°,爸爸在C处接住小丽时,求小丽距离地面的高度.  解析　由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,所以∠BOD+∠OBD=90°.因为∠BOC=90°,所以∠COE+∠BOD=90°,所以∠COE=∠OBD.在△COE和△OBD中, 所以△COE≌△OBD(AAS),所以CE=OD=1.8 m,OE=BD=1.4 m,所以DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m).因为AD=1 m,所以AE=AD+DE=1.4 m,所以爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度为1.4 m.4. (学科素养　运算能力)(★★☆)如图,AE⊥AB,AE=AB,BC⊥CD,BC=CD.若点E,B到直线AC的距离分别为6和3, AC=8,求图中阴影部分的面积.  解析　如图,作EF⊥AC,BH⊥AC,DG⊥AC,分别交直线AC于点F、H、G,所以∠FEA+∠EAF=90°, EF∥DG.因为点E、B到直线AC的距离分别为6、3,所以EF=6,BH=3.因为∠EAB=90°,所以∠EAF+∠BAH=90°,所以∠FEA=∠BAH.在△EAF和△ABH中, 所以△EAF≌△ABH(AAS),所以AH=EF=6,AF=BH=3.同理△BCH≌△CDG,所以CG=BH=3,DG=CH=AC-AH=2,所以FG=AF+AH+CH+CG=3+6+2+3=14,所以S阴影=S梯形EFGD-S△EAF-S△ABC-S△CDG= ×(6+2)×14- ×6×3- ×8×3- ×3×2=32.类型二　手拉手模型5. (★☆☆)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边,且∠BAC=∠DAE,求证:BD=CE.  证明　因为△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边,所以AE=AD,AB=AC.因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△DAB与△EAC中, 所以△DAB≌△EAC(SAS),所以BD=CE.6. (★★☆)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°.(1)求证:AC=BD.(2)AC与BD相交于点P,求∠APB的度数.  解析    (1)证明:因为∠AOB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.因为OA=OB,OC=OD,所以△AOC≌△BOD(SAS),所以AC=BD.(2)如图,设AC与BO交于点M,则∠AMO=∠BMP.因为△AOC≌△BOD,所以∠OAC=∠OBD,所以180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP,所以∠APB=∠AOM=50°.类型三　半角模型7. (学科素养　推理能力)(★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,点F在CD上,连接AE、AF、EF,∠EAF=45°.(1)求证:DF+BE=EF.(2)若AH⊥EF,垂足为H,求证:AH=AD.  证明    (1)如图,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB,∠D=∠ABE=90°,所以∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中, 所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠DAF.因为∠EAF=45°,所以∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠GAB=∠GAE=45°,所以∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中, 所以△AEG≌△AEF(SAS),所以GE=EF,所以DF+BE=BG+BE=GE=EF. (2)如图,过点A作AH⊥EF,由(1)得△AEG≌△AEF,所以EG=EF,S△AEG=S△AEF,所以 GE·AB= EF·AH,所以AB=AH,因为AB=AD,所以AH=AD.  类型四　对角互补模型8. (★★☆)如图,在平面直角坐标系中,C(4,4),点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠ACB=90°,求OA+OB的长.  解析　如图,过点C作CM⊥y轴于M,CN⊥x轴于N,则∠CMA=∠CNB=90°.因为C(4,4),所以CN=CM=4.因为∠MON=∠CNO=∠CMO=90°,所以∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠MCN,所以∠ACM=∠BCN.在△ACM和△BCN中, 所以△ACM≌△BCN(ASA),所以AM=BN,所以OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.  9. (★★☆)如图,四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,BD=6,求四边形ABCD的面积.  解析　如图,过点D作DF⊥BD,交BC的延长线于F,则∠BDF=90°,所以∠BDF=∠ADC,所以∠ADB=∠CDF.因为∠ADC=∠ABC=90°,所以∠A+∠BCD=180°,因为∠BCD+∠DCF=180°,所以∠A=∠DCF,因为AD=CD,所以△ADB≌△CDF(ASA),所以BD=DF=6,S△ADB=S△CDF,所以S四边形ABCD=S△BDF.因为BD=DF=6,∠BDF=90°,所以S△BDF= ×6×6=18,所以S四边形ABCD=18,即四边形ABCD的面积为18.方法解读　当四边形中有一组对角互补,且有一组邻边相等时可考虑用“对角互补模型”.解题时,通过作等角(或延长某一边并截取等线段)构造全等三角形,利用全等三角形的性质解决线段、面积问题.类型五　动点模型10. (2023山东聊城阳谷期中改编,16,★★☆)如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB⊥射线BM,垂足为点B,AB=12 cm,AC=6 cm.动点E从A点出发以3 cm/s的速度沿射线AN运动,点D在射线BM上,且BD=AB.若点E的运动时间为t s(t>0),则当t=　　　    s时,△DEB与△BCA全等.   2或6答案    2或6解析　分情况讨论:①当点E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED,所以BE=AC=6 cm,所以AE=AB-BE=12-6=6(cm),所以点E的运动时间为6÷3=2(s);②当E在射线BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,所以BE=AC=6 cm,所以AE=AB+BE=12+6=18(cm),所以点E的运动时间为 18÷3=6(s).综上,t=2或6.11. (2024山东聊城阳谷期中,26,★★☆)如图,做一个“U”字形框架PABQ,其中AB=42 cm,AP、BQ足够长,PA⊥AB,QB⊥AB,点M从点B出发,向点A运动,同时点N从点B出发,沿射线BQ运动,点M、N运动的速度之比为3∶4,当M、N两点运动到某一瞬间时,同时停止,此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等,求此时线段AC的长.  解析　由题意设BM=3t cm,BN=4t cm,因为AB=42 cm,所以AM=AB-BM=(42-3t)cm.△ACM与△BMN全等,分两种情况:①△ACM≌△BMN,所以AC=BM,AM=BN,所以42-3t=4t,解得t=6,所以AC=BM=3t=3×6=18(cm);②△ACM≌△BNM,所以AM=BM,AC=BN,所以42-3t=3t,解得t=7,所以AC=BN=4t=4×7=28(cm).综上所述,AC=18 cm或28 cm.