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青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(三)分类讨论思想在等腰三角形中的六大应用课件
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分类讨论思想在等腰三角形中的六大应用专项素养巩固训练卷(三) 类型一 针对腰长和底边长进行分类讨论1. (2024山东菏泽巨野期中,10,★★☆)已知等腰三角形的两边长a,b满足|2a-3b+ 5|+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为 .8或72. (2024山东聊城阳谷期中,22,★★☆)一个等腰三角形的周长是30 cm.(1)若腰长是底边长的2倍,求各边的长.(2)若其中一条边的长是8 cm,求另外两条边的长.解析 (1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,由等腰三角形的周长是30 cm,得x+2x+2x=30,解得x=6,所以2x=2×6=12.所以各边长分别为6 cm,12 cm,12 cm.(2)分两种情况考虑:①若底边长为8 cm,则腰长为 =11(cm),8,11,11符合三角形三边关系;②若腰长为8 cm,则底边长为30-8-8=14(cm),8,8,14符合三角形三边关系.所以另外两边长分别为11 cm,11 cm或8 cm,14 cm.类型二 针对顶角与底角进行分类讨论3. (2024山东聊城阳谷期中,18,★★☆)在△ABC中,∠A=80°,当∠B= 时,△ABC是等腰三角形.80°或50°或20°4. (★★☆)等腰三角形的一个外角等于110°,求此三角形的各内角的度数.5. (★★☆)已知一个等腰三角形的两个内角分别为(2x-2)°和(3x-5)°,求这个等腰 三角形各内角的度数.解析 分三种情况讨论:①当(2x-2)°和(3x-5)°是两个底角时,2x-2=3x-5,解得x=3,所以三个内角的度数分 别是4°,4°,172°;②当(2x-2)°角是顶角时,2x-2+2(3x-5)=180,解得x=24,所以三个内角的度数分别是 46°,67°,67°;③当(3x-5)°角是顶角时,3x-5+2(2x-2)=180°,解得x=27,所以三个内角的度数分别 是76°,52°,52°.综上,这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°,4°,172°或46°,67°,67°或76°,52°,52°.类型三 当高的位置不确定时分类讨论6. (★★☆)等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个 内角的度数.所以∠C=∠ABC= =32.5°.综上,三角形各个内角的度数分别为65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.类型四 当腰的垂直平分线与另一腰所在直线的交点位置不确定时,分类讨论7. (★★☆)在等腰△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所成 的锐角为54°,则这个三角形的顶角度数为 .36°或144°答案 36°或144°解析 因为AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为54°,所以∠DEA= 54°.①如图1,AB的垂直平分线与AC相交时,∠BAC=90°-∠DEA=36°;②如图2,AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,∠BAC=90°+∠DEA=144°.综上所述,等腰三角形顶角的度数为36°或144°. 类型五 腰上的中线引起的分类讨论8. (★★☆)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成12 cm和15 cm两部分, 求三角形各边的长.解析 如图,设腰AB长为x cm,底边CB长为y cm,分两种情况讨论:①当AB+AD为 15 cm,BC+CD为12 cm时, 解得 经检验符合题意;②当AB+AD为12 cm,BC+CD为15 cm时, 解得 经检验符合题意.综上,三角形各边的长分别为8 cm,8 cm,11 cm,或10 cm,10 cm,7 cm. 类型六 等腰三角形的存在性问题中,因点的位置不确定引起分类讨论9. (2024山东聊城冠县期中改编,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB= 60°,在直线BC或AC上取一点P,使得△ABP为等腰三角形,则符合条件的点的个 数是 ( ) A. 7 B. 8 C. 5 D. 6D解析 D 如图,以AB为腰,B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1,△BAP2,△ BAP3,以AB为腰,A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3,△ABP4,△ABP5,以AB为 底边,P为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP6,△ABP3,所以符合条件的点的个数 有6个,故选D. 10. (★★★)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点O在BC边上运动(O不与B、C重 合),连接AO,作∠AOD=∠B,OD交AB于点D.(1)当OD∥AC时,判断△AOB的形状并证明.(2)在点O运动过程中,△AOD的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDO 的度数;若不可以,请说明理由. 解析 (1)△AOB为直角三角形.理由如下:因为AB=AC,∠B=30°,所以∠C=∠B=30°,所以∠BAC=180°-30°-30°=120°.因为OD∥AC,∠AOD=∠B=30°,所以∠OAC=∠AOD=30°,所以∠BAO=120°-30°=90°,所以△AOB是直角三角形.(2)△AOD的形状可以是等腰三角形.分三种情况:①DA=DO时,∠OAD=∠AOD=30°,所以∠BDO=∠OAD+∠AOD=60°;②OA=OD时,∠ODA=∠OAD= ×(180°-30°)=75°,所以∠BDO=180°-75°=105°;③AD=AO时,∠ADO=∠AOD=30°,所以∠OAD=120°=∠BAC,此时点O与点C重合,不符合题意.综上所述,∠BDO的度数为60°或105°.
