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专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（含答案）2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》（人教版）
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这是一份专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（含答案）2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》（人教版），文件包含专题13一元二次方程根的判别式根与系数的关系3个考点八大题型原卷版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx、专题13一元二次方程根的判别式根与系数的关系3个考点八大题型解析版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】
【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】
【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】
1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有一个实数根D．有两个不等的实数根
【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根
【答案】A
【解答】解：2x2﹣5x+6＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：A．
5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（ ）
A．无实根B．有实根
C．有两个不相等实根D．有两个相等实根
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+1）
＝k2+6k+9﹣8k﹣4
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴Δ＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实根．
故选：C．
6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+3，
∴x2+1﹣2x＝x+3，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0．
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案选：A．
8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：A．
【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】
9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+k＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，
解得k≤4．
故k的取值范围为：k≤4；
故选：C．
10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，
∴Δ≥0，即42﹣4×1×（m+5）≥0，
解得m≤﹣1，
故选：B．
11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．﹣36B．﹣9C．9D．36
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．C．k＜且k≠2D． 且k≠2
【答案】D
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，
解得k≤且k≠2，
故选：D．
14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，
∴k＜﹣4，
∴四个选项中，只有A选项符合题意．
故选：A．
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【答案】（1）见解答；
（2）﹣1.5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）m＝1或m＝﹣3．．
【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0中a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
所以Δ＝m2+4m+4﹣4m+4＝m2+8，
无论m取何值，m2+8＞0，
所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：因为a和b是这个一元二次方程的两个根，
所以a+b＝m+2，ab＝m﹣1，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（m+2）2﹣2m+2＝m2+2m+6＝（m+1）2+5＝9．
解得m＝1或m＝﹣3．
17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．
【答案】（1）略；
（2）k的值为0或2．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，
整理，得k2﹣2k＝0，
解得k1＝0，k2＝2，
∴k的值为0或2．
18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k值．
【答案】（1）见解答；
（2）k＝9或k＝10．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当等腰△ABC的腰长为10时，
∴k＝10或k+1＝10，
∴k＝9，
解得：k＝9或k＝10．
19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【答案】（1）见解答；
（2）m＝2．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣4＝0，解得m＝±2，
∵m是正数，
∴m＝2．
20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解答；（2）x＝﹣2或x＝1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：m＝0时，判别式的值最小，
把m＝0代入方程，
x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣2或x＝1．
【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】
21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣12D．12
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣4，
故选：A．
22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：x2﹣12x+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣12，c＝3，
x1x2＝＝3，
故选：D．
23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，
所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．
故选：D．
24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
∴m+n﹣mn＝2+3＝5，
故选：A．
【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】
25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意得x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝3，
∴＝＝，
故选：C．
26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（ ）
A．19B．9C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+10＝19．
故选：A．
27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是（ ）
A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6
【答案】D
【解答】解：当m≠n时，
∴m、n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴原式＝
＝
＝
＝﹣6，
当m＝n时，
原式＝1+1＝2，
故的值是2或﹣6．
故选：D．
28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．﹣10B．10C．3D．0
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，
∴m2+2m﹣5＝0，
即m2＝5﹣2m，
∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn﹣2m＝5+mn，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0．
故选：D．
29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴，，
∴．
故选：D．
30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（ ）
A．2023B．2022C．2020D．2019
【答案】D
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝2023，m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n
＝（m2+2m）+2（m+n）
＝2023+（﹣4）
＝2019．
故选：D
【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】
31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4047B．4045C．2023D．1
【答案】A
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，
∴，x1x2＝﹣2023，x1+x2＝1，
∴＝，
故选：A．
32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（ ）
A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018
【答案】A
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m3＝m（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（﹣m+3）+3m
＝4m﹣3，
∴m3+4n﹣mn+2022
＝4m﹣3+4n﹣mn+2022
＝4（m+n）﹣mn+2019，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019
＝﹣4+3+2019
＝2018．
故选：A．
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（ ）
A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024
【答案】B
【解答】解：∵α为方程x2+2023x﹣5＝0的根，
∴α2+2023α﹣5＝0，
∴α2＝﹣2023α+5，
∴α2+β+2024α＝﹣2023α+5+β+2024α＝α+β+5，
∵方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，
∴α+β＝﹣2023，
∴α2+β+2024α＝﹣2023+5＝﹣2018．
故选：B．
34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的实数根，
∴m2﹣m＝2024，
∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2024﹣1＝2023，
故选：D．
35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的根，
∴a2+3a﹣2010＝0，
∴a2＝﹣3a+2010，
∴a2﹣a﹣4b＝﹣3a+2010﹣a﹣4b＝﹣4（a+b）+2010，
∵a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2﹣a﹣4b＝﹣4×（﹣3）+2010＝2022．
故选：C．
36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】B
【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的实数根，
∴m2﹣m＝2022，
∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2022﹣1＝2021，
故选：B
37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【答案】B
【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，
∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，
∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）
＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）
＝（1+3α）（1+3β）
＝1+3（α+β）+9αβ
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
＝﹣6074．
故选：B．
38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，
∴m2+4m﹣9＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝9，
∴m2+5m+n＝m2+4m+m+n＝9﹣4＝5．
故选：B
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】A
【解答】解：设x2﹣x+m＝0另一个根是α，
∴2+α＝1，
∴α＝﹣1，
故选：A．
40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，
∴﹣1+a＝4，
解得：a＝5，
则另一根为5．
故选：D．
41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2＝﹣，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（ ）
A．0B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，
∴12+m﹣2＝0，
解得：m＝1．
一元二次方程为：x2+x﹣2＝0，设另一根为n，则：
1+n＝﹣1，
∴n＝﹣2．
故选：D．
43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：设方程的另一个根是m，
根据根与系数的关系，得﹣2m＝﹣2，
解得m＝1，
故选：A．
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】
【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】
【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】
1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有一个实数根D．有两个不等的实数根
【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根
【答案】A
【解答】解：2x2﹣5x+6＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：A．
5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（ ）
A．无实根B．有实根
C．有两个不相等实根D．有两个相等实根
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+1）
＝k2+6k+9﹣8k﹣4
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴Δ＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实根．
故选：C．
6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+3，
∴x2+1﹣2x＝x+3，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0．
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案选：A．
8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：A．
【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】
9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+k＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，
解得k≤4．
故k的取值范围为：k≤4；
故选：C．
10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，
∴Δ≥0，即42﹣4×1×（m+5）≥0，
解得m≤﹣1，
故选：B．
11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．﹣36B．﹣9C．9D．36
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．C．k＜且k≠2D． 且k≠2
【答案】D
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，
解得k≤且k≠2，
故选：D．
14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，
∴k＜﹣4，
∴四个选项中，只有A选项符合题意．
故选：A．
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【答案】（1）见解答；
（2）﹣1.5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）m＝1或m＝﹣3．．
【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0中a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
所以Δ＝m2+4m+4﹣4m+4＝m2+8，
无论m取何值，m2+8＞0，
所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：因为a和b是这个一元二次方程的两个根，
所以a+b＝m+2，ab＝m﹣1，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（m+2）2﹣2m+2＝m2+2m+6＝（m+1）2+5＝9．
解得m＝1或m＝﹣3．
17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．
【答案】（1）略；
（2）k的值为0或2．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，
整理，得k2﹣2k＝0，
解得k1＝0，k2＝2，
∴k的值为0或2．
18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k值．
【答案】（1）见解答；
（2）k＝9或k＝10．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当等腰△ABC的腰长为10时，
∴k＝10或k+1＝10，
∴k＝9，
解得：k＝9或k＝10．
19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．
【答案】（1）见解答；
（2）m＝2．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，
∴m2﹣4＝0，解得m＝±2，
∵m是正数，
∴m＝2．
20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解答；（2）x＝﹣2或x＝1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：m＝0时，判别式的值最小，
把m＝0代入方程，
x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣2或x＝1．
【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】
21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣12D．12
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣4，
故选：A．
22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：x2﹣12x+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣12，c＝3，
x1x2＝＝3，
故选：D．
23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，
所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．
故选：D．
24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
∴m+n﹣mn＝2+3＝5，
故选：A．
【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】
25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意得x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝3，
∴＝＝，
故选：C．
26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（ ）
A．19B．9C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+10＝19．
故选：A．
27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是（ ）
A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6
【答案】D
【解答】解：当m≠n时，
∴m、n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴原式＝
＝
＝
＝﹣6，
当m＝n时，
原式＝1+1＝2，
故的值是2或﹣6．
故选：D．
28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．﹣10B．10C．3D．0
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，
∴m2+2m﹣5＝0，
即m2＝5﹣2m，
∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn﹣2m＝5+mn，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0．
故选：D．
29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴，，
∴．
故选：D．
30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（ ）
A．2023B．2022C．2020D．2019
【答案】D
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝2023，m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n
＝（m2+2m）+2（m+n）
＝2023+（﹣4）
＝2019．
故选：D
【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】
31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4047B．4045C．2023D．1
【答案】A
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，
∴，x1x2＝﹣2023，x1+x2＝1，
∴＝，
故选：A．
32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（ ）
A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018
【答案】A
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m3＝m（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（﹣m+3）+3m
＝4m﹣3，
∴m3+4n﹣mn+2022
＝4m﹣3+4n﹣mn+2022
＝4（m+n）﹣mn+2019，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019
＝﹣4+3+2019
＝2018．
故选：A．
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（ ）
A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024
【答案】B
【解答】解：∵α为方程x2+2023x﹣5＝0的根，
∴α2+2023α﹣5＝0，
∴α2＝﹣2023α+5，
∴α2+β+2024α＝﹣2023α+5+β+2024α＝α+β+5，
∵方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，
∴α+β＝﹣2023，
∴α2+β+2024α＝﹣2023+5＝﹣2018．
故选：B．
34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的实数根，
∴m2﹣m＝2024，
∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2024﹣1＝2023，
故选：D．
35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的根，
∴a2+3a﹣2010＝0，
∴a2＝﹣3a+2010，
∴a2﹣a﹣4b＝﹣3a+2010﹣a﹣4b＝﹣4（a+b）+2010，
∵a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2﹣a﹣4b＝﹣4×（﹣3）+2010＝2022．
故选：C．
36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】B
【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的实数根，
∴m2﹣m＝2022，
∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2022﹣1＝2021，
故选：B
37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）
A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040
【答案】B
【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，
∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，
∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）
＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）
＝（1+3α）（1+3β）
＝1+3（α+β）+9αβ
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
＝﹣6074．
故选：B．
38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，
∴m2+4m﹣9＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝9，
∴m2+5m+n＝m2+4m+m+n＝9﹣4＝5．
故选：B
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】A
【解答】解：设x2﹣x+m＝0另一个根是α，
∴2+α＝1，
∴α＝﹣1，
故选：A．
40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，
∴﹣1+a＝4，
解得：a＝5，
则另一根为5．
故选：D．
41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（ ）
A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2＝﹣，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（ ）
A．0B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，
∴12+m﹣2＝0，
解得：m＝1．
一元二次方程为：x2+x﹣2＝0，设另一根为n，则：
1+n＝﹣1，
∴n＝﹣2．
故选：D．
43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：设方程的另一个根是m，
根据根与系数的关系，得﹣2m＝﹣2，
解得m＝1，
故选：A．
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