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专题2.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）（含答案）2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》（人教版）
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这是一份专题2.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）（含答案）2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》（人教版），文件包含专题25二次函数与线段最值面积最值综合应用四大题型原卷版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx、专题25二次函数与线段最值面积最值综合应用四大题型解析版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
【题型1 线段差最大问题】
【题型2 线段和最小】
【题型3 周长最值问题】
【题型4 求面积最值】
【题型1 线段差最大问题】
【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．
【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
【题型2 线段和最小】
【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
【变式2-1】（2023•河南三模）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC，点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）在直线x＝1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；
【变式2-2】（2022秋•常德期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接BP，CP，当BP+CP的长度最小时，求出点P的坐标；
【变式2-3】（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值．
【变式2-4】（2023•太康县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
【题型3 周长最值问题】
【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
【变式3-2】（2023春•民乐县校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【题型4 求面积最值】
【典例4】（2023•利津县一模）综合与实践
如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
【变式4-1】（2022秋•金华期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2023•娄底模拟）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
【变式4-3】（2023•晋中模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；
（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
【变式4-4】（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
【变式4-5】（2022秋•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
【变式4-6】（2023春•青秀区校级期末）如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC上方，试求出△BCP面积的最大值；
【变式4-7】（2023•仁怀市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．
【变式4-8】（2023•德惠市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
【变式4-9】（2023•资兴市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线L交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AC下方抛物线y＝x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积最大值．
【变式4-10】（2023•顺德区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．
连接AD，求△ADE面积的最大值；
【题型1 线段差最大问题】
【题型2 线段和最小】
【题型3 周长最值问题】
【题型4 求面积最值】
【题型1 线段差最大问题】
【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．
【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
【题型2 线段和最小】
【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
【变式2-1】（2023•河南三模）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC，点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）在直线x＝1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；
【变式2-2】（2022秋•常德期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接BP，CP，当BP+CP的长度最小时，求出点P的坐标；
【变式2-3】（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值．
【变式2-4】（2023•太康县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
【题型3 周长最值问题】
【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
【变式3-2】（2023春•民乐县校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【题型4 求面积最值】
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如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
【变式4-1】（2022秋•金华期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2023•娄底模拟）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
【变式4-3】（2023•晋中模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；
（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
【变式4-4】（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
【变式4-5】（2022秋•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
【变式4-6】（2023春•青秀区校级期末）如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC上方，试求出△BCP面积的最大值；
【变式4-7】（2023•仁怀市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．
【变式4-8】（2023•德惠市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
【变式4-9】（2023•资兴市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线L交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AC下方抛物线y＝x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积最大值．
【变式4-10】（2023•顺德区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．
连接AD，求△ADE面积的最大值；
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