安徽省合肥市长丰县土山中学202—-2023学年上学期九年级期末考试数学试卷

这是一份安徽省合肥市长丰县土山中学202—-2023学年上学期九年级期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，解答题，计算题，综合题，证明题等内容，欢迎下载使用。
九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1． 下列运算正确的是（ ）
A．a+a2=a3B．(ab)2=ab2C．a5÷a3=a2D．(a2)3=a5
2． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF是角平分线，AB=5，CF=32，则△AFB的面积为（ ）
A．5B．154C．152D．132
3．如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的值为( )

A．45°B．55°C．60°D．65°
4．若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x-2且x≠1D．x>1
5．若x2-bx-10=（x+5）（x-a），则ab的值是（ ）
A．-8B．8C．18D．−18
6．下列计算，其中正确的是（ ）
A．x3⋅x2=x6B．(ab)6=ab6
C．−a32=a6D．3x3y2−xy2=2x2
7．下列计算正确的是（ ）
A．x5⋅x5=2x5B．a3+a2=a5
C．(a2b)3=a8b3D．(−bc)4÷(−bc)2=b2c2
8．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③∠A=23∠E；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②④D．①②③④
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y=3x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．43C．8D．63
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
11．一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 ．
12．已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为 °．
13．若3x﹣5y=1，则103x÷105y＝ .
14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取A、B1，使OA＝OB1，连接AB1，在B1A、B1B上分别取点A1、B2，使B1B2＝B1A1，连接A1B1…按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠AnBnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ .
三、作图题（本题共8分）
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出一点Q，使得|QA+QC|的值最小；（描出该点并标注字母Q）
（3）在直线l上找出一点P，使得|PA−PC|的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
16．化简x+1x2+4x+4÷(x−1+2x+2)，再从1，0，-1，-2中选一个喜欢的数求值.
17．如图①，在四边形 ABCD 中，∠A＝x°，∠C＝y°.
（1） ∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）
（2） BE、DF 分别为∠ABC、∠ADC 的外角平分线，
①若 BE∥DF，x＝30，则 y＝ ；
②当 y＝2x 时，若 BE 与 DF 交于点 P，且∠DPB＝20°，求 y 的值．
（3） 如图②，∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，则∠Q＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）
五、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
18．分解因式：（p﹣4）（p+1）+3p．
19．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算x+22x+33x+4所得多项式的一次项系数．小明想通过计算x+22x+33x+4所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找x+22x+3所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算x+22x+33x+4所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算2x+13x+2所得多项式的一次项系数为______．
（2）计算x+13x+24x−3所得多项式的一次项系数为______．
（3）若计算x2−x+1x2−3x+a2x−1所得多项式的一次项系数为0，则a=______．
（4）计算x+15所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
（5）计算2x−15所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
20．如图，已知△ABC．
（1）请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交AB于D点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，若AB=15，BC=8，求△BCD的周长．
21．如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
七、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
22．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴BE=CA，
在△ABE中，AB+BE＞AE（依据2），
∴AB+AC＞2AD．
（1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）任务二：如图3，AB=6，AC=8，则AD的取值范围是 ；
A．6＜AD＜8；B．6≤AD≤8；C．1＜AD＜7
（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，求证：AD=12BC．
23．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（Ⅰ）如图1所示，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
①求∠DAO的度数：
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（Ⅱ）设∠AOB=α，∠BOC=β．
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，请你直接写出OA+OB+OC的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】6
12．【答案】120
13．【答案】10
14．【答案】（1）180∘+α2
（2）（2n−1）⋅180∘+α2n
15．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图，点Q即为所求．
（3）解：如图，点P即为所求．
16．【答案】解： x+1x2+4x+4÷(x−1+2x+2)
=x+1(x+2)2÷((x−1)(x+2)+2x+2)
=x+1(x+2)2÷(x2+xx+2)
=x+1(x+2)2⋅x+2x(x+1)
=1x(x+2) ，
∵ x=0 ， −1 ， −2 时，原分式无意义，
故当 x=1 时，原式 =13 .
17．【答案】（1）（360－x－y）． （2）①30°；x＝40，y＝80；（3）90＋12(x－y)
18．【答案】解：原式＝p2+p﹣4p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．
19．【答案】（1）7
（2）−7
（3）−1
（4）5，10
（5）10，−40
20．【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）解：∵点D为AC的垂直平分线与AB的交点，
∴CD=AD
∴BD+CD=BD+AD=AB=15，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AB+BC=15+8=23．
21．【答案】（1）证明：∵△ABC 和 △AMN 是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60° ，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC ，
即 ∠BAM=∠CAN ，
在 △BAM 和 △CAN 中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN ，
∴△BAM≌△CAN ；
（2）解：①∵△AMN 为等边三角形，
∴∠AMN=∠NAM=∠AMN=60° ，
∵△BAM≌△CAN ，
∴∠AMB=∠MNA=60° ，
∴∠BMC=180°−∠AMN−∠AMB=60° ；
②证明：∵点M是 CN 的中点，
∴MN=CM ，
∵△AMN 是等边三角形，
∴AM=MN=CM ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=CB ，
∴MB 是 AC 的垂直平分线，
∴BM⊥AC ．
22．【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
（2）C
（3）见解释
23．【答案】（1）①90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，证明见试题解析；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．证明见试题解析；②线段OA+OB+OC最小值为3．