2.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型（苏科版）（教师版）

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专题2.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！【题型1 数列型规律探究】1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ）A．3n-2个 B．3n+2个 C．5n+1个 D．5n-1个【答案】B【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数．【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5=2×1+3，第2个图形有8个小圆，即8=2×2+3+1，第3个图形有11个小圆，即11=2×3+3+2，⋯依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+3+n-1=3n+2 ， 故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律．2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）A．253 B．255 C．257 D．259【答案】C【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C．【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（    ）A．380 B．382 C．384 D．386【答案】B【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案．【详解】解：由4＝1×2+2，8＝2×3+2，14＝3×4+2，22＝4×5+2，得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，y＝19×20+2＝382，故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和．4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（　　　）A．-3029 B．-3032 C．-3035 D．-3038【答案】B【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.【详解】∵A表示的数为1，∴A1=1+（-3）×1=-2，∴A2=-2+（-3）×（-2）=4，∴A3=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），∴A4=-5+（-3）×（-4）=7，∴A5=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，∴A2021= -2+2021-12×(-3)=-3032，故选B.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=n2，当n=44时，n2=1936 ，当n=45时，n2=2025，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．【答案】1【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字．【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4，∵2020÷4=505，∴72020的个位数字为1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．【题型2 裂差型规律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．【答案】511256【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此规律可进行求解．【详解】解：由图及题意可得：12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…；依此规律可得：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 511256；故答案为：511256．【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×1-13；第2个等式：a2=13×5=12×13-15；第3个等式：a3=15×7=12×15-17；第4个等式：a4=17×9=12×17-19；…请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值【答案】（1）19×11=12×19-111；（2）12n-12n+1=1212n-1-12n+1；（3）20184037；（4）40310100【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．【详解】解：(1)19×11=12×(19-111)；(2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)；(3)a1+a2+a3+a4+…+a2018，=12×(1-13+13-15+⋯+14035-14037)，=12×(1-14037)，=20184037；(4)15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020，=15×(15-110+110-115+115-120+120-125+⋯+12015-12020)，=15×(15-12020)，=15×4032020，=40310100．【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝ ；②|－12＋15|＝ ；（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．【答案】（1）①7+2；②12-15；（2）20194042【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵7+2>0 ，∴|7＋2|＝7+2；②∵-12+15b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．【详解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a-b|+a+b),a≠b，∴3⊕2=123-2+3+2=3，2⊕3=122-3+2+3=3，-3⊕2=12-3-2-3+2=2，-3⊕-2=12-3+2-3-2=-2，故答案为：3，3，2，-2；②例如：3⊕-2=123+2+3-2=3，-2⊕-3=12-2+3-2-3=-2，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a；（2）解：①【-92.5⊕16.33】⊕【-33.8⊕-4】=16.33⊕-4=16.33；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于a，a为偶数，b=a-1最小值=-10+-8+-6+-4+-2+0+2+4+6+8=-10，故答案为：-10．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b-20232，如：1⊗2=1+2-20232，1⊗2⊗3=1+2-20232+3-20232=-2017．材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，-1.3=-2．(1)2⊗6 =______，-ππ=______；(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．【答案】(1)-20072，-64(2)2023(3)-20532【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出-ππ的值；（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出m⊗m+n的值．【详解】（1）解：∵a⊗b=a+b-20232，∴2⊗6=2+6-20232=-20072，∵-π=-4，π=3，∴-ππ =-43=-64，故答案为：-20072，-64；（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023=1+2+3+……+2023+2022×-20232=1+20232×2023-2022×20232=2023；（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，∴2n=3n+3，∴n=-3，∴m=2×-3 =-6，∴m+n =-6+n=-9，∴m⊗m+n =-9⊗-6=-9-6-20232=-20532．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．(1)计算(-5)⊙(-1)的结果是______．(2)有理数m，n满足(m+2)2+n-3∣=0，求(m⊙n)⊙(-1)的值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；（2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案.【详解】（1）解：原式=(-5)⊙(-1)=(-5)×(-1)+(-1)=4；（2）解：∵(m+2)2+n-3∣=0，∴m=-2，n=3，原式=(m⊙n)⊙(-1)=(-2)⊙3⊙(-1)=(-2)×3+3⊙(-1)=(-3)⊙(-1)=(-3)×(-1)+(-1)=2.【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2-ab，如：-2★3=-22--2×3=10，那么-3★-2★13的结果是 ．【答案】8【分析】根据运算律a★b=a2-ab，先算括号内，再算括号外即可【详解】解：-3★-2★13=-32--3×-2★13=3★13=8故答案为8【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题【题型6 定义多个数的运算】1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x ,  y)的一次操作变换记为P1(x ,  y)，定义其变换法则如下：P1(x ,  y)=(x+y ,  x-y)；且规定P0(x ,  y)=P1(Pn-1(x ,  y))（n为大于1的整数），如P1(1 ,  2)=(3 ,  -1),P2(1 ,  2)=P1(P1(1 ,  2))=P1(3 ,  -1)=(2 ,  4)，P3(1 ,  2)=P1(p2(1 ,  2))=P1(2 ,  4)=(6 ,  -2)，则P2011(1 ,  -1)=（  ）A．(0 ,  21005) B．(0 ,  -21005) C．(0 ,  -21006) D．(0 ,  21006)【答案】D【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：P1(1，-1)=(0，2)，P2(1，-1)= (2，-2)，P3(1，-1)= (0，4)，P4(1，-1)= (4，-4)，P5(1，-1)= (0，8)，P6(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出P20111 ,  -1=(0 ,  21006).点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n”或“=”）(5)计算：-142÷-12④×-7⑥--48÷-17④+-1【答案】(1)１；-20222023(2)ABCDF(3)1an-2(4)>(5)-5149【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．（4）利用（3）的结论，进行计算即可．（5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【详解】（1）2022②= 2022÷2022=1 ；-20232022③= -20232022÷-20232022÷-20232022=-20222023（2）A、因为a②=a÷a=1a≠0 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意；B、a③a÷a÷a=1aa≠o , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意；C、圈n次方等于它本身的数是1或-1，符合题意；D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意 E．（-2）②=1 ，2②=1 ，不符合题意F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数2③=12，12③ =2 ，符合题意．（3）an =a÷a÷a÷a÷⋯÷a=a·1a·1a·1a·⋯·1a=1an-2（4）-9⑤ =-193=-1729 ，-3⑦ =-135=-1243 ，∵-1729>-1243 ∴ -9⑤>-3⑦．（5）原式=-1-196÷-22×-174--48÷-72+-1 =-1-149+4849-1 =-5149 ．5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c-a|-|c-b||，n=|c-a|+|c-b|（1）当a=-3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．（2）当a=-3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．（3）当a=-3，b=4，且n=2m，求c的值．（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a-b|，化简：|m-p|-|p-n|+2|m-n|【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或-132或-54；（4）2c-2b或6b-6c或6c-6a或2a-2c或2c-2a或2b-2c或6a-6c或6c-6b【分析】（1）根据a,b,c的值计算出c-a=5,c-b=-2，然后代入即可计算出m,n的值；（2）分c≥4 ，c≤-3， -3c,b>c>a,c>a>b,c>b>a 六种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】（1）∵a=-3，b=4，c=2∴c-a=5,c-b=-2 ∴m=5--2=5-2=3n=5+-2=5+2=7（2）∵a=-3，b=4，若c≥4，则m=c-a-(c-b)=b-a=7 若c≤-3，则m=a-c+(c-b)=a-b=7若-3b 则p=a-b m=a-c-(c-b)=a+b-2cn=a-c+c-b=a-b 当a+b-2c≥0时，m=a+b-2c∴m-p=a+b-2c-(a-b)=2c-2bp-n=0m-n=(a+b-2c)-(a-b)=2c-2b∴原式=(2c-2b)-0+2(2c-2b)=6c-6b 当a+b-2ca>c 则p=b-a m=a-c-(b-c)=b-an=a-c+b-c=a+b-2c ∴m-p=0p-n=b-a-(a+b-2c)=2a-2cm-n=b-a-(a+b-2c)=2a-2c∴原式=0-(2a-2c)+2(2a-2c)=2a-2c ④若b>c>a 则p=b-a m=c-a-(b-c)=2c-a-bn=c-a+b-c=b-a 当2c-a-b≥0时，m=2c-a-b∴m-p=2c-a-b-(b-a)=2b-2cp-n=0m-n=(2c-a-b)-(b-a)=2b-2c∴原式=(2b-2c)-0+2(2b-2c)=6b-6c当2c-a-ba>b 则p=a-b m=c-a-(c-b)=a-bn=c-a+c-b=2c-a-b ∴m-p=0p-n=a-b-(2c-a-b)=2c-2am-n=a-b-(2c-a-b)=2c-2a∴原式=0-(2c-2a)+2(2c-2a)=2c-2a⑥若c>b>a 则p=b-a m=c-a-(c-b)=b-an=c-a+c-b=2c-a-b ∴m-p=0p-n=b-a-(2c-a-b)=2c-2bm-n=b-a-(2c-a-b)=2c-2b∴原式=0-(2c-2b)+2(2c-2b)=2c-2b【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“-”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．【答案】(1)9(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为1至31【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为15，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，故答案为：9；（2）不能，∵1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15