2.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（学生版）

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专题2.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17422" 【题型1 数轴中的新定义问题】  PAGEREF _Toc17422 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14655" 【题型2 数轴中的动点问题】  PAGEREF _Toc14655 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16068" 【题型3 绝对值中的最值问题】  PAGEREF _Toc16068 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14939" 【题型4 分类讨论多绝对值问题】  PAGEREF _Toc14939 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12496" 【题型5 有理数中的规律探究】  PAGEREF _Toc12496 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10422" 【题型6 有理数中的对折问题】  PAGEREF _Toc10422 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc10853" 【题型7 幻方的应用】  PAGEREF _Toc10853 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc14244" 【题型8 有理数的实际应用】  PAGEREF _Toc14244 \h 12【题型1 数轴中的新定义问题】【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为-6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）(2)若点M、P表示的数分别为-4、-2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为-10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b-20232，如：1⊗2=1+2-20232，1⊗2⊗3=1+2-20232+3-20232=-2017．材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，-1.3=-2．(1)2⊗6 =______，-ππ=______；(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数-3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4．(1)直接写出A、B两点表示的数；(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．【题型2 数轴中的动点问题】【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18，8大于-18，用8--18．用式子表示为：AC=8--18=26．根据阅读完成下列问题：  (1)填空：AB=______，BC=______．(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b-402=0.（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.① 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数；② 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?  【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c-15002+d-1700=0.(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.【题型3 绝对值中的最值问题】【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作|-5-0|=|-5|=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-(-2)|=|-3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作|a-b|．回答下列问题：(1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是_____________；(2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；(3)①找出所有使得|x+1|+|x-2|=3的整数x；②求|x+3|+|x-1|的最小值．【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a-b，若a>b，则可化简为AB=a-b．请你利用数轴解决以下问题：(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m-2+m+5=______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a-d=12， b-d=7， a-c=9 ，则b-c 等于 ______．(4)若b=a，c=12a， d=13a，e=14a，  f=15a  ，则式子b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5f-5的最小值为 _______．【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5-0，即5-0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5--3表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a-b．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= ．（3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．（4）x-2+x-3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．x+2+x-1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．（5）x-2+x-3最小值是 ，x+2+x-1的最小值是 ．【题型4 分类讨论多绝对值问题】【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（    ）A．2 B．–2 C．1 D．0【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若aba），则这两点间的距离为：b-a（即：较大的数减去较小的数）.尝试应用：（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.问题解决：（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）【题型7 幻方的应用】【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．幻方相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．  (1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；(2)请将-7，-5，-3，-1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（     ）A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6 B．2，3，4，5，6，7，8，9 ，10C．3，6，9，12，15，18，21，24，27 D．4，6，7，10，12，14，16，18，20【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（        ）A．-4 B．-3 C．3 D．4【题型8 有理数的实际应用】【例8】（2023·上海·六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？【变式8-1】（2023春·江苏泰州·七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了． (1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?回报率=回报金额-投资额投资额×10000(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?【变式8-2】（2023·浙江·七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为 元．B1B2B3A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315