6.9 平面图形的认识（一）章末拔尖卷（苏科版）（教师版）

这是一份6.9 平面图形的认识（一）章末拔尖卷（苏科版）（教师版），共25页。
第6章 平面图形的认识（一）章末拔尖卷【苏科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线OB与射线BO是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；②因为点C不一定在线段AB上，所以若线段AC=BC，则点C不一定是线段AB的中点，则原说法错误；③射线OB与射线BO的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；综上，说法正确的有2个，故选：A．【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键．2．（3分）（2023上·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个【答案】D【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可．【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0；当三条直线相交于1点时，交点个数为1；当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3；所以，它们的交点个数有4种情形．故选：D．【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论．3．（3分）（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（   ）A．∠1=∠3 B．∠3=90°C．∠3=180°-∠1 D．∠3=90°+∠1【答案】D【分析】由∠1与∠2互余，∠2与∠3互补可得∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，由②-①得：∠3-∠1=90°，由此即可得到答案．【详解】解：∵ ∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∴∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，由②-①得：∠3-∠1=90°，∴∠3=90°+∠1，故选：D．【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．4．（3分）（2023上·重庆开州·七年级统考期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（    ）A．40° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出∠COD=0.5x，结合∠COD=20°，即可求出x的值，进而得到∠AOD的度数．【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，∴设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，∴∠AOD=∠BOD=1.5x∴∠COD=∠COB-∠BOD=0.5x，∴0.5x=20°，解得：x=40°，∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，故选：C．【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．5．（3分）（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（    ）  A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm【答案】B【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QNMP+PQ+QN+MQ+PN+MN=MN+MN+PQ+MN=3MN+PQ∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．故选B．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（3分）（2023上·山东枣庄·七年级校考期末）已知α=36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面结论正确的是（　　）A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β【答案】C【分析】将α=36°18'转化为36.3°，即可得出答案．【详解】由α=36°18'=36°+18÷60°=36°+0.3°=36.3°，又因为β=36.18°，γ=36.3°，所以α=γ>β．故选：C．【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．7．（3分）（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】D【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.【详解】设OB=3x，则BP=7x，∴OP=OB+BP=10x，∵OA:AP=2:3，∴OA=4x，AP=6x，∴AB=OA-OB=x，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，再从点B重叠处一起剪开，得到的三段分别为：2x、3x、5x，故选：D.【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.8．（3分）（2023上·重庆酉阳·七年级统考期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ）A．10∼11点 B．7∼8点 C．5∼6点 D．2∼3点【答案】A【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ，即时针转了24°，∵分针每转动1°，时针转动112° ，由此知：分针转动：24°÷112=288° ，由每一大格对应30°知：288°÷30°=935 ，即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：由此确定此时是10点48分；故答案为：A．【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．9．（3分）（2023上·重庆·七年级校考期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDCB的值为（    ）A．5 B．1714 C．1714或56 D．1110【答案】B【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE=y，当点E在线段BC之间时，得到AE=2x+y，BE=x-y，求得y=27x，进而即可求出CDCB；当点E在线段AC之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；【详解】设BC=x，则AC=2BC=2x，∴AB=3x．∵AB=2DE，∴DE=32x．设CE=y，当点E在线段BC之间时，如图，∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC-CE=x-y，∴AD=AE-DE=2x+y-32x=12x+y．∵AD+ECBE=32，∴12x+y+yx-y=32，∴y=27x，∴CD=DE-CE=32x-y=32x-27x=1714x，∴CDCB=1714xx=1714；当点E在线段AC之间时，如图，∴AE=AC-CE=2x-y，∴AD=AE-DE=2x-32x-y=12x-y，BE=x+y．∵AD+ECBE=32，∴12x-y+yx+y=32，解得：y=-23x，不符合题意，舍；综上可得CDCB=1714．故选B．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．10．（3分）（2023上·山西晋中·七年级统考期末）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（   ）A．以O为顶点的角共有15个B．若MC=CB，MN=ND，则CD=2CNC．若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12AD-CBD．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，则∠MON=32∠MOC+∠BON【答案】B【分析】由于B选项中的结论是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判断ND和CN是否相等即可，根据ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B选项错误．【详解】解：以O为顶点的角有6×52=15个，所以A选项正确；∵MN=ND，∴ND>CN,∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,所以B选项错误；由中点定义可得：MB=12AB,NC=12CD,∴MN=MB+CN-CB=12AB+12CD-CB=12AB+CD-CB，∵AB+CD=AD+CB,∴MN=12AD+CB-CB=12AD-CB,所以C选项正确；由角平分线的定义可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,∴∠MON=32∠MOC+∠BON,所以D选项正确，所以不正确的只有B，故选：B.【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·甘肃定西·七年级统考期末）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 AB=4米，AC=6米，则点A到DE的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）  【答案】3米（答案不唯一）【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：∵ AB=4米，AC=6米，∴点A到DE的距离d小于或等于4米，∴点A到DE的距离d可能为3米（答案不唯一）．故答案为：3米（答案不唯一）．【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义．12．（3分）（2023下·福建南平·七年级统考期中）如图AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=100°，则∠AOC的度数是 °．【答案】50【分析】由角平分线可知∠DOB=12∠DOE，即可求出∠DOB的大小，再由∠AOC和∠DOB为对顶角，即可直接求出∠AOC的大小．【详解】解：∵ OB平分∠DOE，∠DOE=100°，∴∠DOB=12∠DOE=12×100°=50°，∴∠AOC=∠DOB=50°，故答案为：50．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和对顶角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．13．（3分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点M，N在边CB上，连接PM，PN．将∠DPN对折，点D落在直线PN上的点D'处，得折痕PE；将∠APM对折，点A落在直线PM上的点A'处，得折痕PF．若∠MPN=30°，则∠EPF= ．【答案】75°或105°【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得∠DPN+∠APM=180°-∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，由∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM可得答案；当点N在点M的上方时，设∠DPM=x，∠APN=y，则可以得到x+y=180°-∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，根据∠EPF=180°-∠DPE+∠APF即可求解．【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．∵∠MPN=30°，∴∠DPN+∠APM=180°-∠MPN=180°-30°=150°，由翻折变换的性质可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，∴∠EPN+∠FPM=12×150°=75°，∴∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM=30°+75°=105°．当点N在点M的下方时，设∠DPM=x，∠APN=y，则x+y=180°-∠MPN=150°，由翻折变换的性质可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，∴∠EPF=180°-∠DPE+∠APF=180°-12x+y-30°=75°．综上所述，满足条件的∠EPF=75°或105°．故答案为：75°或105°．【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（3分）（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段AB=8，延长BA至点C，使CB=2AB，点D、E均为线段BA延长线上两点，且BD=4AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 ．【答案】15或29【分析】分BC=23BD时和BC=13BD时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．【详解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是线段AB的中点，∴CB=16，AN=BN=12AB=4，①若BC=23BD，如图1所示：∴BD=3AB=24，∴AD=BD-AB=16，∵BD=4AE，∴AE=6，∴DE=AD-AE=10，∵M是线段DE的中点，∴DM=ME=5，∴MN=BD-DM-BN=15，②若BC=13BD，如图：∴BD=3BC=48，∴AD=BD-AB=40，∵BD=4AE，∴AE=12，∴DE=AD-AE=28，∵M是线段DE的中点，∴DM=DE2=14，∴MN=BD-DM-BN=29；故答案为：15或29．【点睛】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．15．（3分）（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）如图，∠AOB=α,OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn,OBn分别是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分线，则∠AnOBn的度数是 ．  【答案】α2n【分析】由角平分线性质推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，据此规律可解答．【详解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM，∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α，∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM，∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22，∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM，∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23，…，由此规律得：∠AnOBn=α2n．故答案为：α2n．【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．（3分）（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知CD=74mm，AD2-AC1=50mm，则BE1= mm.【答案】24【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解．【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，∴BE1=OD1+OD2=2OD2，∵AD2-AC1=50mm，∴AO-OD2-AO-OC1=50mm，∴OC1-OD2=50mm，∴OC1=OD2+50，∵CD=OC+OD=OC1+OD1，∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，∴2OD2=24mm，∴BE1=24mm，故答案为：24．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末）按要求解题：(1)A，B，M，N四点如图所示，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）：①连接AB；②在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB；③连接AN，BM，它们相交于点P；(2)在（1）题图中，若AB=3cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=3cm【分析】（1）根据题意，作出对应的线段和点即可；（2）根据题意求得线段AC、AE、AD的长度，由图形可得DE=AE-AD，即可求解．【详解】（1）解：如图：（2）解：如图：∵AB=3cm，BC=2AB，∴BC=6cm，∴AC=AB+BC=9cm，又∵D为AB的中点，E为AC的中点，∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm，∴DE=AE-AD=3cm．【点睛】本题考查了线段的作图方法和线段中点的性质，线段的和差的计算，解题的关键是掌握线段的作图方法以及有关线段中点的性质．18．（6分）（2023下·四川泸州·七年级统考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠BOC=96°，若OF平分∠AOD(1)求∠COF的度数；(2)若OE⊥OF，求∠BOE的度数【答案】(1)132°(2)42°【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOD=∠BOC=96°，利用角平分线定义求出∠DOF的度数，再根据邻补角定义求出∠COF的度数；（2）求出∠DOE，∠BOD的度数，即可得到∠BOE的度数．【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O，且∠BOC=96°，∴∠AOD=∠BOC=96°，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=12∠AOD=48°，∴∠COF=180°-∠DOF=132°（2）∵OE⊥OF，∴∠FOE=90°，∵∠DOF=48°，∴∠DOE=42°，∵∠BOD=180°-∠BOC=84°，∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=42°．【点睛】此题考查了对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的定义，正确掌握各知识点并理解图形中各角度的关系是解题的关键．19．（8分）（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）  【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．【答案】(1)∠DOE=25°；(2)∠DOE=12∠AOC．【分析】（1）先求∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数；（2）设∠AOC=α，再根据（1）的求解过程，用含α的式子表示两个角的数量关系．【详解】（1）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∵∠AOC=50°，∴∠BOD=40°．∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-65°=25°．（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC=12×180°-α=90°-12α．∵∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-180°-α=α-90°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α-90°+90°-12α=12α．∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=12∠AOC．【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质；关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解．20．（8分）（2023上·全国·七年级专题练习）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．①已知AC=13,CB=8,，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；②已知AC=13,CB=8,，若点M是AC的中点， BN=34BC，求线段MN的长；③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，请直接写出线段MN的长．【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入计算即可得出答案；②由点M是AC的中点， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．【详解】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4，∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；②∵点M是AC的中点， BN=34BC，∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2，∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；③MN=13a+23b；∵AM=23AC,BN=13BC，∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b，∴MN=CM+CN=13a+23b；（2）MN=173200a或77200a．∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a，若点C在线段AB上时，∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a．若点B在线段AC上时，MN=CM-CN=58a-625a=(58-625)a＝77200a．综上，线段MN的长为173200a或77200a．【点睛】本题主要考查了线段中点有关的线段的计算，认真审题，数形结合，明确线段直接的数量关系进行求解是解决本题的关键,（2）小题注意分两种情况讨论．21．（8分）（2023下·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．  (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．  (3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．  【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)12α或13α或23α【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．故答案为：是．  （2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．  【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．22．（8分）（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)34m.【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，∴AC=BC=12AB=4，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，CM=34BC，∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;（2）若C在A的左边，如图所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，∴CN +2AM－2MN的值与m无关；（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，CM=34BC，∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34AB=34m；②当点C在点A的左边，如图所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，BM=14BC，∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC =34(BC－AC)=34AB=34m；③当点C在点B的右边，如图所示：∵CN=3AN，CM=3BM，∴AN=14AC，CM=34BC，∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC =34(AC－BC)=34AB=34m，综上所述，MN的长度为34m.【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.23．（8分）（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线AB上一点，将斜边为CD的直角三角板的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC．  (1)如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；(2)将直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；(3)在图1中，∠AOC=30°，OP与OD的起始位置重合，再将三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，则t的值为__________秒（直接写出结果）．【答案】(1)15°(2)∠AOC=2∠DOE，理由见解析(3)2或4【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得∠EOC=75°，再结合∠COD是直角运用角的和差即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE，根据余角的性质可得∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，再根据∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE并将∠COE=∠BOE=90°-∠DOE代入化简即可解答；（3）由角∠BOP的三等分线有两条，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC=75°,∵∠COD是直角，∴∠DOE=∠COD-∠EOC=90°-75°=15°．（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE，∵∠COD=90°，∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-290°-∠DOE，∴∠AOC=2∠DOE．（3）解：由角∠BOP的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：①∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，∴∠POD=13∠POB,∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，∴∠POD=10t；由（1）可得：∠BOP=180°-30°-90°=60°,∴∠POD=13∠POB=20°，∴10t=20，即t=2；②∵射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线，∴∠POD=23∠POB,∵三角板COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，∴∠POD=10t；由（1）可得：∠BOP=180°-30°-90°=60°,∴∠POD=23∠POB=40°，∴10t=40，即t=4．综上，当t=2或4时，射线OD恰好是锐角∠BOP的三等分线．【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．