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6.11 平面图形的认识（一）章末八大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（教师版）
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这是一份6.11 平面图形的认识（一）章末八大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（教师版），共43页。
专题6.11 平面图形的认识（一）章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc10965" 【题型1 线段中的动点问题】 PAGEREF _Toc10965 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10173" 【题型2 利用线段的条数解决实际问题】 PAGEREF _Toc10173 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15899" 【题型3 直线、射线、线段的规律探究】 PAGEREF _Toc15899 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc495" 【题型4 线段的和差的实际应用】 PAGEREF _Toc495 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc22296" 【题型5 三角板中角度探究】 PAGEREF _Toc22296 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc5472" 【题型6 探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc5472 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc558" 【题型7 角度中的规律探究】 PAGEREF _Toc558 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc25090" 【题型8 动角旋转问题】 PAGEREF _Toc25090 \h 35【题型1 线段中的动点问题】【例1】（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． (1)如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP-BP=OP，求OPMB的值．【答案】(1)AC+OD=12(2)OA=5cm(3)OPMB=1或12【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根据OA=20-OB，求出AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，OD=OB-BD=OB-6，最后求出结果即可；（2）设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，求出OD=OB-3t，AC=OA-t，根据OD=3AC，得出OB-3t=3OA-t，求出OB=3OA，再根据OA+OB=20cm求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根据求出OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，根据OP=OB-BP=15-BP，得出5+OP-BP=15-BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP=MB，进而可得结果．【详解】（1）解：当运动时间为2s时，OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，∵OA+OB=20cm，∴OA=20-OB，∴AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，∵OD=OB-BD=OB-6，∴AC+OD=18-OB+OB-6=12cm； （2）解：设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，∴OD=OB-3t，AC=OA-t，∵OD=3AC，∴OB-3t=3OA-t，∴OB=3OA∵OA+OB=20cm，∴OA+3OA=20cm，∴OA=5cm．（3）解：∵OA=5cm，∴MO=5cm，BO=15cm，BM=20cm，∵MP-BP=OP，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，∵OP=OB-BP=15-BP，∴5+OP-BP=15-BP，∴OP=10cm，∴OPMB=1020=12． 当点P在点B右边时，∵MP-BP=OP，MP-BP=MB，∴OP=MB，∴OPMB=1；综上，OPMB=1或12．【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．【变式1-1】（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm． (1)线段AB=______cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)20cm(2)8、20cm【分析】（1）根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD-BC-CD即可解答；（2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；【详解】（1）∵CD=4cm,BC=2CD,AD=8CD∴BC=2×4=8cm,AD=8×4=32cm∴AB=AD-BC-CD=32-8-4=20cm故线段AB的长为20cm．（2）①P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32解得： t=8 秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；②由（1）得 AC=AB+BC=28cm当P，Q两点第二次相遇时： 3t-28=t-4解得： t=12 秒∴ PC=3×12-AC=36-28=8 cm∴ AP=28-8=20 cm故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．【变式1-2】（2023上·浙江衢州·七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23OQ.问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【答案】(1)-5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或134或 112.【分析】（1）根据AB=12，点B表示的数是7，即可确定OA的长度，得到点A表示的数；（2）①根据题意得到OP=PQ，列式计算即可；②先求得MN、MP的长度，再分两种情况：当点P是线段MN的三等分点时，或当点N是线段MP的三等分点时，分别求出t的值.【详解】(1)点A表示的数是-5；(2) ①由题意得：OP=3t-5，OQ=7+32t，∵点P是线段OQ的中点，∴OP=12OQ,∴3t-5=12(7+32t),t=349,经过349秒，点P是线段OQ的中点；②由①知OP=3t-5,OQ=7+32t,∵点M为PO的中点，∴OM=MP= 12OP=32t-52,∵QN=23OQ,∴QN=23(7+32t)=32t+143,∴MN=OQ-OM-QN=196-t,分两种情况：i：如图1，当点P是线段MN的三等分点时，得MP=13MN 或MP=23MN,∴32t-52=13(296-t)或32t-52=23(296-t)，得t=7433或t=10339当P在O左侧时，MP=13PN2×-52+32t--5+3t=73+12t--52+32t得t=112ii：如图2，当点N是线段MP的三等分点时，得MN=13MP或MN=23MP,∴296-t=13(32t-52)或296-t=23(32t-52)，得t=349或t=134，综上，经过7433秒或10339秒或349秒或134h或 112秒时，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点.【点睛】此题是一道有理数的动点问题,根据点在数轴上运动的规律,确定线段间的数量关系,从而求得t的值,注意②中应分情况求值.【变式1-3】（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中的三条线段AB，AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧点”P表示的数为：-5或-8或-207；“巧点”Q表示的数为：-8或-807或-5【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断便可；（2）设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程便可；（3）先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解便可．【详解】（1）解：因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）解：设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2x+20，解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2x+20，解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=240-x，解得，x=20．综上，点C表示的数为10或0或20；（3）解：由题意得，AP=2t，AQ=60-4t，PQ=60-6t(0⩽t⩽10)6t-60(10
专题6.11 平面图形的认识（一）章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc10965" 【题型1 线段中的动点问题】 PAGEREF _Toc10965 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10173" 【题型2 利用线段的条数解决实际问题】 PAGEREF _Toc10173 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15899" 【题型3 直线、射线、线段的规律探究】 PAGEREF _Toc15899 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc495" 【题型4 线段的和差的实际应用】 PAGEREF _Toc495 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc22296" 【题型5 三角板中角度探究】 PAGEREF _Toc22296 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc5472" 【题型6 探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc5472 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc558" 【题型7 角度中的规律探究】 PAGEREF _Toc558 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc25090" 【题型8 动角旋转问题】 PAGEREF _Toc25090 \h 35【题型1 线段中的动点问题】【例1】（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动． (1)如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP-BP=OP，求OPMB的值．【答案】(1)AC+OD=12(2)OA=5cm(3)OPMB=1或12【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根据OA=20-OB，求出AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，OD=OB-BD=OB-6，最后求出结果即可；（2）设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，求出OD=OB-3t，AC=OA-t，根据OD=3AC，得出OB-3t=3OA-t，求出OB=3OA，再根据OA+OB=20cm求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根据求出OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，根据OP=OB-BP=15-BP，得出5+OP-BP=15-BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP=MB，进而可得结果．【详解】（1）解：当运动时间为2s时，OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，∵OA+OB=20cm，∴OA=20-OB，∴AC=OA-OC=20-OB-OC=20-OB-2=18-OB，∵OD=OB-BD=OB-6，∴AC+OD=18-OB+OB-6=12cm； （2）解：设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，∴OD=OB-3t，AC=OA-t，∵OD=3AC，∴OB-3t=3OA-t，∴OB=3OA∵OA+OB=20cm，∴OA+3OA=20cm，∴OA=5cm．（3）解：∵OA=5cm，∴MO=5cm，BO=15cm，BM=20cm，∵MP-BP=OP，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴OP=MP-BP=MO+OP-BP=5+OP-BP，∵OP=OB-BP=15-BP，∴5+OP-BP=15-BP，∴OP=10cm，∴OPMB=1020=12． 当点P在点B右边时，∵MP-BP=OP，MP-BP=MB，∴OP=MB，∴OPMB=1；综上，OPMB=1或12．【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．【变式1-1】（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm． (1)线段AB=______cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)20cm(2)8、20cm【分析】（1）根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD-BC-CD即可解答；（2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；【详解】（1）∵CD=4cm,BC=2CD,AD=8CD∴BC=2×4=8cm,AD=8×4=32cm∴AB=AD-BC-CD=32-8-4=20cm故线段AB的长为20cm．（2）①P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32解得： t=8 秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；②由（1）得 AC=AB+BC=28cm当P，Q两点第二次相遇时： 3t-28=t-4解得： t=12 秒∴ PC=3×12-AC=36-28=8 cm∴ AP=28-8=20 cm故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．【变式1-2】（2023上·浙江衢州·七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23OQ.问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【答案】(1)-5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或134或 112.【分析】（1）根据AB=12，点B表示的数是7，即可确定OA的长度，得到点A表示的数；（2）①根据题意得到OP=PQ，列式计算即可；②先求得MN、MP的长度，再分两种情况：当点P是线段MN的三等分点时，或当点N是线段MP的三等分点时，分别求出t的值.【详解】(1)点A表示的数是-5；(2) ①由题意得：OP=3t-5，OQ=7+32t，∵点P是线段OQ的中点，∴OP=12OQ,∴3t-5=12(7+32t),t=349,经过349秒，点P是线段OQ的中点；②由①知OP=3t-5,OQ=7+32t,∵点M为PO的中点，∴OM=MP= 12OP=32t-52,∵QN=23OQ,∴QN=23(7+32t)=32t+143,∴MN=OQ-OM-QN=196-t,分两种情况：i：如图1，当点P是线段MN的三等分点时，得MP=13MN 或MP=23MN,∴32t-52=13(296-t)或32t-52=23(296-t)，得t=7433或t=10339当P在O左侧时，MP=13PN2×-52+32t--5+3t=73+12t--52+32t得t=112ii：如图2，当点N是线段MP的三等分点时，得MN=13MP或MN=23MP,∴296-t=13(32t-52)或296-t=23(32t-52)，得t=349或t=134，综上，经过7433秒或10339秒或349秒或134h或 112秒时，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点.【点睛】此题是一道有理数的动点问题,根据点在数轴上运动的规律,确定线段间的数量关系,从而求得t的值,注意②中应分情况求值.【变式1-3】（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中的三条线段AB，AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧点”P表示的数为：-5或-8或-207；“巧点”Q表示的数为：-8或-807或-5【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断便可；（2）设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程便可；（3）先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解便可．【详解】（1）解：因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）解：设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2x+20，解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2x+20，解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=240-x，解得，x=20．综上，点C表示的数为10或0或20；（3）解：由题意得，AP=2t，AQ=60-4t，PQ=60-6t(0⩽t⩽10)6t-60(10
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