2023-2024学年辽宁省实验中学北校区高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省实验中学北校区高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a5=9，则S10的值为( )
A. 70B. 80C. 90D. 100
2.下列变量之间的关系不是相关关系的是( )
A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重
C. 某正方形的边长与此正方形的面积 D. 人的身高与体重
3.函数f(x)=exx的导函数f′(x)=( )
A. (x−1)exxB. (x−1)exx2C. (1−x)exx2D. (x+1)exx
4.等比数列{an}满足a1=32，q=−12，记Tn=a1a2…an(n∈N+)，则数列{Tn}( )
A. 有最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值
C. 无最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值
5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的集合为( )
A. {x1,x2,x3}
B. {x1,x3}
C. {x1,x2,x4}
D. {x3}
6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列结论正确的是( )
A. S11>0B. S12<0C. S13>0D. S8>S6
7.已知f(x)=sinπx+f′(1)x2，则f(1)=( )
A. 0B. 12C. π2D. π
8.已知等比数列{an}满足a3+a4=lna3，若a1>1，则( )
A. a3<1，a2>a4B. a3<1，a2C. a3>1，a2>a4D. a3>1，a2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知ξ～N(μ,σ2)，则下列说法正确的是( )
A. E(ξ)=μB. D(ξ)=σ
C. P(ξ<μ)=12D. P(ξ<μ−σ)=P(ξ>μ+σ)
10.已知函数f(x)=sinx−xcsx，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )
A. f(x)是奇函数 B. 0是f(x)的极值点
C. f(x)在区间(−π2,π2)上有且仅有三个零点 D. f(x)的值域为R
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. a7=13B. S8=97
C. a12+a22+…+a20242=a2024a2025D. a1+a3+a5+…+a199=a200
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx= ______．
13.在首项为1的数列{an}中，an+1−an=n⋅(12)n，则an= ______．
14.数列{an}中，如果存在ak，使得“ak>ak−1且ak>ak+1”成立(其中k≥2，k∈N∗)，则称ak为{an}的一个峰值．
(1)若an=−3n2+11n，则{an}的峰值为______；
(2)若an=−3n2+tn，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且a1+a2=6，2b1+a3=b4，S3=3a2．
(Ⅰ)求{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=ban，求数列{cn}的前n项和．
16.(本小题15分)
2022年卡塔尔世界杯即将于11月20日开幕.某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为3：2，统计得到如下列联表：
(1)求a，b的值，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？
(2)用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取4人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于2人的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足nan+1−Sn=n(n+1)(n∈N∗)，且a4为a2，a8的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，证明：18≤Tn<14．
18.(本小题17分)
(1)求函数f(x)=x44−23x3+x22−1的极值．
(2)已知曲线y=x3−2x2+2x+1，求曲线过点P(0,1)的切线方程．
(3)讨论函数f(x)=12ax2−lnx+x，a∈R的单调性．
19.(本小题17分)
集合S={a1,a2；…an}(ai∈N∗,i=1,2,)，集合T={bij|bij=ai+aj,1≤i(1)判断集合S1={1,2,3}、S2={1,2,3,4}是否为“好集合”；
(2)若集合S3={1,3,5,m}(m>5)是“好集合”，求m的值；
(3)“好集合”S的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.B
6.A
7.D
8.D
9.ACD
10.AD
11.ACD
12.−14
13.3−n+12n−1
14.10 (−∞,6]
15.解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d．
由a1+a2=6，得 a1+a1q=6.因为a1=2，所以q=2．
所以an=a1qn−1=2⋅2n−1=2n．
由2b1+a3=b4,S3=3a2,得 2b1+8=b1+3d,3b1+3d=12,解得b1=1,d=3.
所以bn=b1+(n−1)d=3n−2．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n，bn=3n−2．
所以cn=ban=3×2n−2．
从而数列{cn}的前n项和Tn=3×(21+22+23+…+2n)−2n=3×2×(1−2n)1−2−2n=6×2n−2n−6．
16.解：(1)由已知数据，知男女会员人数之比为3：2，因此，根据分层随机抽样，
抽取男会员24人，女会员16人，故a=8，b=16，
补全2×2列联表如下：
设零假设H0：是否前往现场观看比赛与性别无关，
因为χ2=40(8×8−8×16)2(8+8)(16+8)(8+16)(8+8)=109，
由于109<6.635，根据小概率值α=0.010的独立性检验，我们推断H0成立，即不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关；
(2)记抽到的4人中，女性人数为ξ，由题意ξ～B(4,25)，
所以P(ξ≥2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)=1−C40(35)4(25)0−C41(35)3(25)1=328625，
即在访谈者中，女性不少于2人的概率为328625．
17.解：(1)因为an+1−Snn=n+1，所以nan+1=Sn+n(n+1)，①
当n≥2时，(n−1)an=Sn−1+n(n−1)，②
①−②得nan+1−(n−1)an=an+2n，化简可得an+1−an=2，n≥2，
且当n=1时，a2−a1=2满足上式，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
由题可得a2a8=a42，故(a1+2)(a1+14)=(a1+6)2，解得a1=2，
所以an=a1+(n−1)×2=2n，n∈N∗；
(2)证明：令bn=1anan+1=12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，
所以Tn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn
=14[(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)，
又函数y=1−1x+1在(0,+∞)上单调递增，
所以Tn≥T1=14×(1−12)=18，
又1−1n+1<1，即Tn<14，
所以18≤Tn<14．
18.解：(1)因为f(x)=x44−23x3+x22−1，
所以f′(x)=x3−2x2+x=x(x2−2x+1)=x(x−1)2，
令f′(x)>0，则x>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
令f′(x)<0，则x<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减，
所以极小值为f(0)=−1，无极大值．
(2)因为y=x3−2x2+2x+1，
所以y′=3x2−4x+2，
设切点为(x0,y0)，则切线的斜率为3x02−4x0+2，
所以曲线在切点处的切线方程为y−y0=(3x02−4x0+2)(x−x0)，
又曲线过点P(0,1)，
所以1−y0=(3x02−4x0+2)(0−x0)，
而y0=x03−2x02+2x0+1，
所以1−(x03−2x02+2x0+1)=(3x02−4x0+2)(−x0)，
整理得2x02(x0−1)=0，
解得x0=1或x0=0，
当x0=1时，切线的斜率为1，曲线过点P(0,1)的切线方程为y−1=1⋅(x−0)，即x−y+1=0；
当x0=0时，切线的斜率为2，曲线过点P(0,1)的切线方程为y−1=2⋅(x−0)，即2x−y+1=0，
综上，曲线过点P(0,1)的切线方程为2x−y+1=0或x−y+1=0．
(3)由题意知，f′(x)=ax−1x+1=ax2+x−1x，定义域为(0,+∞)，
①当a=0时，f′(x)=−1x+1，
令f′(x)=0，则x=1，
若0若x>1，则f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；
②当a>0时，令f′(x)=0，则x=−1± 1+4a2a(舍负)，
若0若x>−1+ 1+4a2a，则f′(x)>0，f(x)在(−1+ 1+4a2a,+∞)上单调递增；
③当a<0时，令f′(x)=0，则ax2+x−1=0，
若Δ=1+4a≤0，即a≤−14时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减；
若Δ=1+4a>0，即−140，
所以f(x)在(0,−1+ 1+4a2a)和(−1− 1+4a2a,+∞)上单调递减，在(−1+ 1+4a2a,−1− 1+4a2a)上单调递增，
综上所述，
当a=0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,−1+ 1+4a2a)上单调递减，在(−1+ 1+4a2a,+∞)上单调递增；
当−14当a≤−14时，f(x)在(0,+∞)上单调递减．
19.解：(1)因为S1={1,2,3}对应的T={3,4,5}，故S1是“好集合”，
因为S2={1,2,3,4}对应的T={3,4,5,6,7}，元素个数5≠3×42，故S2不是“好集合”；
(2)由于S3={1,3,5,m}对应的T={4,6,8,m+1,m+3,m+5}，而m>5，
故T中元素从小到大的顺序为4，6，8，m+1，m+3，m+5或4，6，m+1，8，m+3，m+5，
因为该数列为等差数列，所以公差d=2，所以m+1=10，所以m=9；
(3)“好集合”S的元素个数存在最大值4，
由(2)知，S={1,3,5,9}即为“好集合”，
先证明n≥5都不是“好集合”，
不妨设a1T中的所有元素从小到大排列为t1显然t1=a1+a2，t2=a1+a3，所以d=a3−a2，
假设n≥6，①当t3=a2+a3时，可得d=t3−t2=a2−a1=a3−a2，所以a2=a1+d，a3=a1+2d，
所以t1=2a1+d，t2=2a1+2d，t3=2a1+3d，在此后的两项之和ai+aj中，a1+a4最小，
所以a1+a4=t4=2a1+4d，所以a4=a1+4d，
余下的项中，a1+a5和a1+a4较小，因为a2+a4=2a1+5d，所以t5=a2+a4，t6=a1+a5，
则a5=a1+6d，而a3+a4=2a1+6d=t6，这与“T中元素个数为n(n−1)2”矛盾；
②当t3=a1+a4时，可得a3=a2+d，a4=a2+2d，
余下的项中，a1+a5和a2+a3较小，
若t4=a1+a5，则a5=a4+d=a2+3d，所以a2+a5=a3+a4=2a2+3d，这与“T中元素个数为n(n−1)2”矛盾，
若t4=a2+a3，则a2+a3=a1+a3+2d，所以a2=a1+2d，所以a2+a4=2a1+6d，a3+a4=2a1+7d=t6，
在此后的两项之和ai+aj中，a1+a5最小，所以a1+a5=t7=2a1+8d，所以a5=a1+8d，
同理a6=a1+9d，所以a3+a5=a2+a6，这与“T中元素个数为n(n−1)2”矛盾；
综上，假设不成立，所以n<6，
当n=5时，显然t1=a1+a2，t2=a1+a3，t10=a4+a5，t9=a3+a5，
所以a4−a3=a3−a2=d，则a1+a4=a1+a2+2d，a2+a5=a3+a5−d=t9−d，
所以t3=a1+a4，t8=a2+a5，
若t4=a1+a5，由t4=t3+d，得a5=a4+d，所以a3+a4=a2+a5，这与“T中元素个数为n(n−1)2”矛盾；
所以t4=a2+a3，由a3+a4=a2+d+a4=a2+a3+2d，
所以t5=a2+a4，t6=a3+a4，t7=a1+a5，因为t8−t7=d，所以a2−a1=d，所以a1，a2，a3，a4成等差数列，
故a1+a4=a2+a3，这与“T中元素个数为n(n−1)2”矛盾，所以n=5不符合题意，
综上所述：“好集合”S的元素个数存在最大值4． 前往现场观看
不前往现场观看
合计
女性
8
a
男性
b
8
合计
40
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
前往现场观看
不前往现场观看
合计
女性
8
8
16
男性
16
8
24
合计
24
16
40