2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(1−i)⋅z=|1+i|，则z−=( )
A. 22− 22iB. − 22− 22iC. 22+ 22iD. − 22+ 22i
2.已知△ABC所在平面内一点P，满足PA+PB+PC=0，则AP=( )
A. 12AB+12ACB. 13AB+13ACC. 12AB+13ACD. 13AB+12AC
3.已知a、b为单位向量，且|a−2b|=|a+b|，则a、b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知向量a=(1,−2)，b=(x,−1)，c=(−4,x)，若2a+b，a−c反向共线，则实数x的值为( )
A. −7B. 3C. 3或−7D. −3或7
5.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 13c,D，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD= 3，则△ABC的面积为( )
A. 34B. 34C. 3 34D. 3 32
7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=5，AD=4，DC=1，E是线段AB上一点，且AE=4EB，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上，则DP⋅AC的最大值为( )
A. 3− 21
B. 2 3−6
C. 21−6
D. − 3
8.已知某圆锥的母线长为3 5，底面积为9π，记该圆锥的体积为V，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为V27的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为( )
A. 60πB. 40πC. 30πD. 20π
9.已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，则|AE+BD|的取值范围为( )
A. [2 3,4]B. [2 3,2 7]C. [4,2 7]D. [4,6]
10.如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=4，BD=2，点M为线段CE上的动点，则(AM−BC)⋅MD的最大值为( )
A. 169
B. 214
C. 6
D. 10
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有( )
A. 若z=z1z2，|z|=|z1||z2|
B. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2
C. 若复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，则z1⋅z2=0
D. 若|z1−i|=1，则|z1+i|的最大值为3
12.下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
B. 已知c≠0，且a⋅c=b⋅c，则a=b
C. 若OA−=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
D. 若AC⋅AB>|AB|2，则△ABC为钝角三角形
13.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=2O′B′=2，则以下说法正确的是( )
A. △ABC是钝角三角形
B. △ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍
C. △ABC是等腰直角三角形
D. △ABC的周长是4+4 2
14.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=a=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2,1),b=(−4,5)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=−3B. |a|= 7
C. a⊥bD. a+b与a的夹角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=3，一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1，则小虫走过的最短路线的长为______．
16.已知非零向量a、b、c两两不平行，且a//(b+c)，b//(a+c)，设c=xa+yb，x，y∈R，则x+2y= ______．
17.如图，点P为∠BAC内一点，|PA|=1，∠BAP=30°，∠CAP=45°，过点P作直线分别交射线AB，AC于D，E两点，则1|PD|+1|PE|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
设m∈R，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)．
(1)当m满足什么条件时，复数z是纯虚数？
(2)当m满足什么条件时，复数z在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
19.(本小题12分)
已知向量a=(−1,0),b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．
(1)求m及|a+2b|；
(2)若a+λb与a+2b所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
20.(本小题12分)
如图，在△ABC中，已知|AB|=3，|AC|=2 3，∠BAC=30°，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求|AP|；
(2)求∠MPN的余弦值．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD．
(1)若cs∠ADC=−14，AC=8，AD=4，求AB；
(2)若△ABC是锐角三角形，B=π3，求BDAB的取值范围．
22.(本小题13分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.A
5.C
6.C
7.C
8.B
9.B
10.D
11.AD
12.AD
13.CD
14.BCD
15. 41
16.−3
17.1+ 3
18.解：(1)由题意得，z=2m2+m2i−3mi−3m−2+2i=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，
当z是纯虚数时，2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−12，
即m=−12时，z是纯虚数．
(2)当z在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，2m2−3m−20，解得−12−35λ≠2，
解得λ>−35且λ≠2，
所以实数λ的取值范围为(−35,2)∪(2,+∞)．
20.解：(1)设AP=tAM，
则根据题意可得AP=tAM=t2(AB+AC)=t2AB+tAN，
又P，B，N三点共线，∴t2+t=1，∴t=23，
∴AP=13(AB+AC)，
∴AP2=19(AB2+AC2+2AB⋅AC)=19×(9+12+2×3×2 3× 32)=399，
∴|AP|= 393；
(2)∵AM=12(AB+AC)，BN=AN−AB=−AB+12AC，
∴AM⋅BN=12(AB+AC)⋅(−AB+12AC)
=12(−AB2+12AC2−12AB⋅AC)
=12×(−9+12×12−12×3×2 3× 32)=−154，
|AM|=12 (AB+AC)2=12× 9+12+2×3×2 3× 32= 392，
|BN|= (−AB+12AC)2= 9+14×12−3×2 3× 32= 3，
∴cs∠MPN=cs=AM⋅BN|AM||BN|=−154 392× 3=−5 1326．
21.解：(1)根据余弦定理，在△ACD中，
cs∠ADC=AD2+CD2−AC22×CD×AD=CD2−488CD=−14，
则CD=6，所以BC=23CD=9，
则cs∠C=CD2+AC2−AD22×CD×AC=36+64−162×6×8=78，
在△ABC中，
AB2=AC2+BC2−2AC×BC×csC
=64+81−2×8×9×78=19，
所以AB= 19；
(2)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示直角坐标系，

设BC=3，AB=t，又CD=2BD，则BD=1，
则A(−t2, 32t)，B(0,0)，C(−3,0)，
则CA=(−t2+3, 32t)，CB=(3,0)，AC=(t2−3,− 32t)，AB=(t2,− 32t)，
由△ABC是锐角三角形，可得CA⋅CB>0AC⋅AB>0，
即3(−t2+3)>0t2(t2−3)+3t24>0，解得320，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．