2023-2024学年广东省东莞市重点中学九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市重点中学九年级（上）期末数学试卷(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中为必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖B. 打开电视，正在播放广告
C. 抛一枚硬币，正面向上D. 从三个黑球中摸出一个是黑球
3.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是( )
A. (0,−3)B. (−3,0)C. (−34,0)D. (0,−34)
4.若双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是( )
A. k1C. 0mx的解集是______ ；
(3)在y轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)，点B(0,3)
(1)求抛物线表达式和顶点C的坐标；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，
①直线PQ交x轴于点M，联结BQ、OP，如果S△BPQ=2S△OPM，求PM的长；
②将上述抛物线向下平移，使得顶点C的对应点D恰好与点Q关于直线AB对称，求平移的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件；
B、打开电视，正在播放广告是随机事件；
C、抛一枚硬币，正面向上是随机事件；
D、从三个黑球中摸出一个是黑球是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2−3，
∴该抛物线的顶点坐标为(0,−3)，
故选：A．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】B
【解析】解：∵双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，
∴k−1>0，
∴k>1；
故选：B．
反比例函数的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k0，抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，得出c0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c0、b>0、c0)的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC=12×2=1，
故答案为1．
13.【答案】21
【解析】解：∵AB/​/CD/​/EF，AC：CE=2：5，
∴ACCE=BDDF，
即25=6DF，
∴DF=15，
∴BF=BD+DF=6+15=21，
故答案为：21．
利用平行线分线段成比例定理得到ACCE=BDDF，从而可计算出DF的长，然后计算BD和DF的和即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例是解题的关键．
14.【答案】c>3
【解析】【分析】
根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成的方程组无解，从而得出答案．
本题考查二次函数与一元二次方程，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：因为抛物线y=2x2−3x+c与直线y=x+1没有交点，
所以一元二次方程2x2−3x+c=x+1没有实数根，
即2x2−4x+c−1=0无实数根，
所以由根的判别式可得：b2−4ac=16−8(c−1)3，
故答案为：c>3．
15.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查的是切线的性质、垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，推出当CP最小时，PQ最小是解题的关键．
连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据三角形的面积公式求出CP′，再根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】
解：连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ= CP2−CQ2= CP2−1，
当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∴AB=4，AC= AB2−BC2=2 3，
在Rt△ABC中，AB×CP′=AC×BC，
得CP′= 3
∴PQ的最小值为： ( 3)2−1= 2，
故答案为： 2．
16.【答案】解：∵x2−7x−8=0，
∴(x+1)(x−8)=0，
则x+1=0或x−8=0，
解得x1=−1，x2=8．
【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17.【答案】解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2+ 3=4，x1⋅(2+ 3)=−c，
∴x1=2− 3，
∴−c=(2− 3)(2+ 3)=4−3=1，
∴c=−1．
【解析】设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
18.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD=40°，AC=CD=BC，
∴∠BCD=100°，
∴∠CBD=∠D=40°．
【解析】由旋转的性质可得∠ACD=40°，AC=CD=BC，由等边三角形的性质可求∠CBD=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
(2)∵△ABD∽△CBA，
∴BABC=BDAB，
∵AB=6，BD=3，
∴6BC=36，
∴BC=12，
∴CD=BC−BD=12−3=9．
【解析】(1)根据相似三角形的判定解答即可；
(2)由相似三角形的性质可得BABC=BDAB，可求BC的长，从而可得到CD的值．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角相等得到三角形相似是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作三角形：

(2)根据题意得：
OC= 32+42=5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长为：90⋅π⋅5180=2.5π．
【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)由于点C旋转到C1所经过的路径为以0为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C旋转到C1所经过的路径长．
本题考查了作图−旋转变换，掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)在−2，−1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是14，
故答案为：14．
(2)列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的有：
(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率为12．
(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)设当AB长度为xm时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x(40−2x)=150，
解得：x=5或x=15，
∵当x=5时，40−2x=30，不符合题意，
∴x=5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
(2)设当AB长度为a m时，S最大，
S=a(40−2a)
S=40a−2a2．
∴AB=−402×(−2)=10(m)，
S=4×(−2)×0−4024×(−2)=200(m)，
答：当AB长度为10m时，矩形菜园的面积最大，最大值是200m．
【解析】(1)设AB=xm，则BC=(40−2x)m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
(2)设当AB长度为a m时，S最大，列出函数关系式，推理求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】3 1 x