2023-2024学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，复数z=21−i的虚部是( )
A. −iB. −1C. iD. 1
2.若D为△ABC的边BC的中点，则AC=( )
A. 2AB−ADB. 2AD−ABC. 2AD+ABD. 2AB+AD
3.已知α，β为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是( )
A. 若m/​/n，m⊥α，则n⊥αB. 若m⊥α，m⊥β，则α/​/β
C. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图(图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩)，则下列说法不正确的是( )
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
5.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 2(1+ 2) cm
D. 2(1+2 2) cm
6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得tan∠ACB=34，CD=50m，cs∠BCD= 55,cs∠BDC=35，则塔高AB为( )
A. 15 3m
B. 20 3m
C. 15 5m
D. 20 5m
7.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若△ABC的面积为2 3，则|AP|的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 3
D. 43
8.如图，已知在△ABC中，AB=1，BC=3，AB⊥BC，D是BC边上一点，且BD=1，将△ABD沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在△ADC内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为( )
A. 212πB. 28πC. 26πD. 24π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−6
10.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2 3S，下列选项正确的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 3
11.如图，棱长为2的正方体.ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点(包括边界)，且B1F/​/平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 动点F轨迹的长度为 2
B. 三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C. B1F与A1B不可能垂直
D. 当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在菱形OABC中、O为坐标原点、A(3,−1)，C(1,3)、则OA⋅OB的值为______．
13.从长度为2、3、5、7、11的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______．
14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−π3×3=π.在底面为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD= 2PA.PC与底面ABCD所成的角为π6，在四棱锥P−ABCD中，顶点B的曲率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,1),|b|=2 2．
(1)若a//b，求b的坐标；
(2)若(5a−2b)⊥(a+b)，求a与b的夹角．
16.(本小题15分)
2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷.为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
(Ⅱ)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(Ⅲ)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB/​/平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a−c)csB=bcsC．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若BD=2DC，且CD=1,AD= 7，求△ABC的面积；
(Ⅲ)如图，过点A作BC的平行线AP，且BC=712AP，在四边形ABCP中，AB=2，AP=3，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且BE=λBC,CF=λCP，求AE⋅AF的最小值．
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德⋅费马(1601−1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB=2acsAc−sinBtanC.若P是△ABC的“费马点”，a=2 3,b