2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学九年级（上）期末数学试卷(含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图是一个空心圆柱体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是( )
A. 各角都相等B. 各边都相等C. 有两条对称轴D. 对角线相等
3.已知方程x2−2x+4=0，则该方程的根的情况为( )
A. 方程没有实数根B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程有两个不相等的实数根D. 方程的根无法判定
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE/​/BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长为( )
A. 12
B. 32
C. 52
D. 72
5.已知a2=b3=c4，则3a−2b+ca的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.若反比例函数y=k−1x的图象经过点(3,−5)，则它的图象一定还经过点( )
A. (3,5)B. (−1,16)C. (−3,−5)D. (−15,1)
7.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x(k1⋅k2≠0)的图象如图所示，若y1>y2，则x的取值范围是( )
A. −21
B. −2C. x<−2或x>1
D. x<−2或08.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=36B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36D. 1+x+x2=36
二、非选择题
9.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为______ ．
10.如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有 m2．
11.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为______ N.
12.如图，在平面直角坐标系中，△OAB顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为(−2,−1)，(−1.5,0).△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为(4.5,0)，则点C的坐标为______ ．
13.如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于______ ．
14.解下列方程：
(1)x2+x−1=0；
(2)2x2−5x+3=0．
15.关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
16.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB=3 2，BE=2，求四边形AECF的面积．
17.为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有______ 名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数______ ；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
18.已知：一次函数y=−2x+10的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点(A在B的右侧)．
(1)若A(4,2)，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
(2)在(1)的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D.若BCBD=52，求△ABC的面积．
19.已知x2−3x+1=0，则(1−x+1x−3)÷x2−2x2x−4= ______ ．
20.如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC.现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______ ．
21.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
22.如图，已知直线y=−23x+2与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y=kx(x>0)正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为______ ．
23.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F，BC=10，则AF的长为______ ．
24.某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3个B种足球，共需450元.若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元．
(1)购进A、B两种足球每个各需多少元？
(2)该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况良好，每天可获利7000元.为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球每个降价多少元？
25.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC=14，AD=8，BD=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE=x，连接BE．
(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
(2)设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(3)如图②，点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．
26.如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0(1)求证：GE=GF；
(2)当AE=2DG时，求AE的长；
(3)如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当AE=1时，求S1S2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2.【答案】C
【解析】解：∵矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都相等，对角线互相平分且相等，有两条对称轴，
菱形的性质为：四边相等，对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分，有两条对称轴，
∴菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴，
故选：C．
利用矩形的性质和菱形的性质直接可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称图形的对称轴个数，掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：方程x2−2x+4=0，
∵a=1，b=−2，c=4，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×4=4−16=−12<0，
则方程没有实数根．
故选：A．
求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式：
根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；
根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；
根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．
4.【答案】C
【解析】解：∵AD=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=2+3=5，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∴25=1BC，
∴BC=52，
故选：C．
根据A字模型相似三角形证明△ADE∽△ABC，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了比例的性质，运用设k法是解决问题的关键，设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，代入3a−2b+ca即可得到其值．
【解答】
解：设a2=b3=c4=k(k≠0)，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∴3a−2b+ca=6k−6k+4k2k=2，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得：k−1=3×(−5)=−15，
∵−15×1=−15，
∴反比例函数y=k−1x一定还经过点(−15,1)，
故选：D．
把(3,−5)代入求出k−1即可求解．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵根据函数图象可知，当x<−2或0∴当y1>y2时，x的取值范围是：x<−2或0故选：D．
当一次函数的值大于反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，根据图象可得出当y1>y2时，x的取值范围．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确利用函数图象分析是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】−5
【解析】解：设方程的另一根为x，
根据题意，得：2+x=−3，
解得：x=−5，
故答案为：−5．
设方程的另一根为x，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查了生活中平移现象，根据题目的已知条件并结合图形分析绿地部分的长和宽是解题的关键．
利用平移可得绿地部分的长为(9−1)m，宽为(7−1)m，然后进行计算即可．
【解答】
解：由题意得：
(9−1)×(7−1)=8×6=48(m2)，
∴绿化面积共有48m2，
故答案为：48．
11.【答案】2500
【解析】解：设功率为P，由题可知P=Fv，即v=PF，将F=3750N，V=20m/s代入可得：P=75000，即反比例函数为：v=75000F.当v=30m/s时，F=7500030=2500N．
胡答案为：2500．
根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将v=30m/s代入即可求解．
本题考查反比例函数，掌握功率、速度、阻力关系便可解决问题．
12.【答案】(6,3)
【解析】解：∵△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，点B的坐标为(−1.5,0)，点D的坐标为(4.5,0)，
∴△OCD与△OAB的相似比为3：1，
∵点A的坐标为(−2,−1)，
∴点C的坐标为(−2×(−3),−1×(−3))，即(6,3)，
故答案为：(6,3)．
根据题意求出△OCD与△OAB的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
13.【答案】 2+ 6
【解析】解：过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠ABC=30°，AD=CD，
∴∠DAC=180°−∠D2=75°，
由折叠可知：∠E=∠D=30°，
∴∠APE=∠DAC−∠AEP=45°，
在Rt△APF中，PF=AP⋅cs∠APE，
∴PF=AF=2×cs45°= 2，
在Rt△AEF中，tan∠AEP=AFEF，
∴EF=AFtan30∘= 2 33= 6，
∴PE=PF+EF= 2+ 6，
故答案为： 2+ 6．
过点A作AF⊥PE于点F，由四边形ABCD是菱形和折叠可求∠E=30°，过点A作AF⊥PE于点F，从而把△APE转化为两个直角三角形，进而解决问题．
本题考查了菱形的性质，图形的折叠，解直角三角形等内容，解题的关键添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题．
14.【答案】解：(1)移项，得x2+x=1，
配方，得x2+x+14=1+14，
(x+12)2=54，
x+12=± 52，
x1=−12+ 52,x2=−12− 52；
(2)2x2−5x+3=0，
a=2，b=−5，c=3，
Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×3=1>0，
故方程有两个不相等的实数根，
x=−b± b2−4ac2a=5±12×2，
∴x1=32,x2=1．
【解析】(1)根据配方法进行求解即可；
(2)用公式法进行求解即可．
本题考查了一元二次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键．
15.【答案】解：(1)b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3−k，
∴k2=3−k+3k，
解得：k1=3，k2=−1(舍去)．
【解析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值范围；
(2)根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k的值．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值．
16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，
又∵DF=BE，
∴OE=OF，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB=3 2，
∴AC=BD=6，
∵BE=DF=2，
EF=BD−BE−DF=2，
∴四边形AECF的面积=12AC⋅EF=12×6×2=6．

【解析】(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；
(2)根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，
又∵DF=BE，
∴OE=OF，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB=3 2，
∴AC=BD=6，
∵BE=DF=2，
EF=BD−BE−DF=2，
∴四边形AECF的面积=12AC⋅EF=12×6×2=6．
17.【答案】100 36°
【解析】解：(1)本次被调查的学生人数为30÷30%=100(名)．
选择“足球”的人数为35%×100=35(名)．
补全条形统计图如下：
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 10100×360°=36°．
故答案为：36°．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
(2)用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)把A(4,2)代入y=kx，得k=4×2=8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
解方程组y=−2x+10y=8x，得：
x=1y=8或x=4y=2，
∴点B的坐标为(1,8)；
(2)①若∠BAP=90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y=−2x+10，当y=0时，−2x+10=0，解得x=5，
∴点E(5,0)，OE=5，
∵A(4,2)，
∴OH=4，AH=2，
∴HE=5−4=1，
∵AH⊥OE，
∴∠AHM=∠AHE=90°，
又∵∠BAP=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴AHEH=MHAH，
∴21=MH2，
∴MH=4，
∴M(0,0)，
可设直线AP的解析式为y=mx，
则有4m=2，解得m=12，
∴直线AP的解析式为y=12x，
解方程组y=12xy=8x，得：
x=4y=2或x=−4y=−2，
∴点P的坐标为(−4,−2)．
②若∠ABP=90°，
同理可得：点P的坐标为(−16,−12)，
综上所述：符合条件的点P的坐标为(−4,−2)、(−16,−12)；
(3)过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS//CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴CDBD=CTBS，
∵BCBD=52，
∴CTBS=CDBD=32，
∵A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)，
∴C(−a,2a−10)，CT=a，BS=b，
∴ab=32，即b=23a.
∵A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)都在反比例函数y=kx的图象上，
∴a(−2a+10)=b(−2b+10)，
∴a(−2a+10)=23a(−2×23a+10)，
∵a≠0，
∴−2a+10=23(−2×23a+10)，
解得：a=3．
∴A(3,4)，B(2,6)，C(−3,−4)．
设直线BC的解析式为y=px+q，
则有2p+q=6−3p+q=−4，
解得：p=2q=2，
∴直线BC的解析式为y=2x+2．
当x=0时，y=2，则点D(0,2)，OD=2，
∴S△COB=S△ODC+S△ODB
=12OD⋅CT+12OD⋅BS
=12×2×3+12×2×2=5，
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△COB，
∴S△ABC=2S△COB=10．
【解析】(1)只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
(2)△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1.易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
(3)过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得CTBS=CDBD=32，由A(a,−2a+10)，B(b,−2b+10)，可得C(−a,2a−10)，CT=a，BS=b，即可得到ab=32，即b=23a，由A、B都在反比例函数的图象上可得a(−2a+10)=b(−2b+10)，把b=23a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB，问题得以解决．
本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
19.【答案】8
【解析】解：原式=(x−3x−3−x+1x−3)⋅2(x−2)x(x−2)
=−4x−3⋅2x
=−8x2−3x，
∵x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，
∴原式=−8−1=8．
故答案为：8．
根据分式的减法法则、除法法则做吧原式化简，把x2−3x+1=0变形，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】23
【解析】解：∵AD=DE=EB，AF=FG=GC，
∴DF//EG//BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∴S△ADFS△ABC=19，S△AEGS△ABC=49，
∴空白部分占△ABC的49−19=13，
即针尖落在黑色区域内的概率为1−13=23，
故答案为：23．
根据阴影部分的面积占大三角形面积的比例得出结论即可．
本题主要考查概率的知识，熟练根据几何面积的比例关系计算概率是解题的关键．
21.【答案】2 13
【解析】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×(3+1)−x]，
依题意，得：x[2×(3+1)−x]=2×3×1，
整理，得：x2−8x+6=0，
解得：x1=4+ 10，x2=4− 10，
当x=4+ 10时，2×(3+1)−x=4− 10<4+ 10，符合题意；
当x=4− 10时，2×(3+1)−x=4+ 10>4− 10，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为 (4+ 10)2+(4− 10)2=2 13．
故答案为：2 13．
设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×(3+1)−x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】y=−74x+214
【解析】解：∵直线y=−23x+2与坐标轴交于A，B两点，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=3；
∴A(3,0)，B(0,2)，则OA=3，OB=2，
如图所示，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，且∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，且∠CEB=∠BOC=90°，
∴△CEB∽△BOA，
∴CEEB=BOOA=23，
设CE=2a，则BE=3a，
即E(0,3a+2)，则C(2a,3a+2)，
∵矩形ABCD的对称中心为M，且A(3,0)，
∴点M的横坐标为2a+32，纵坐标为3a+22，
即M(2a+32,3a+22)，
∵双曲线y=kx(x>0)正好经过C，M两点，
∴2a(3a+2)=2a+32×3a+22，
解得，a1=12，a2=−23(不符合题意，舍去)，
∴点C(1,72)，
∴设过点A(3,0)，点C(1,72)所在直线的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0k+b=72，
解得k=−74b=214，
∴直线AC的解析式为y=−74x+214，
故答案为：y=−74x+214．
根据题意，解出A，B两点的坐标，如图所示，过点C作CE⊥y轴于E，可证△CEB∽△BOA，可得CE，BE的关系，设CE=2x，则BE=3x，再根据矩形ABCD的对称中心为M，可求出x的，即求出C的坐标，由此即可求解．
本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数，反比例函数图象的性质，对称中心点的坐标的计算方法，几何图形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
23.【答案】2 10
【解析】解：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．
设EF=a，AD=CD=DE=x，则DF=x−a．
∵AB=AC，
∴AB=2x，∠ABC=∠ACB，BH=HC=5．
又由折叠得∠ACB=∠BED，BE=BC=10，
∴∠ABC=∠BED，
∴cs∠ABC=cs∠BED，即BHAB=EFEB，
∴52x=a10，
解得：a=25x，
∴DF=x−a=x−25x，
∵D是AC中点，DG⊥BC，
∴DG是△AHC的中位线，
∴CG=12CH=52，
∴BG=152，
由折叠知∠DEM=∠DCG，ED=CD，
在△EMD和△CGD中，
∠DEM=∠DCG∠DME=∠DGCED=CD，
∴△EMD≌△CGD(AAS)，
∴DG=MD．
∵DE⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠DEB+∠EBF=90°．
又∵∠CAH+∠ACB=90°，且∠ACB=∠DEB，
∴∠EBF=∠CAH，
∴∠EBF+∠ABC=90°，
∴∠DMB=∠MBG=∠BGD=90°
∴四边形MBGD是正方形，
∴DG=BG=152，
∴AH=2DG=15．
在Rt△AHC中，AH2+HC2=AC2，
∴152+52=(2x)2，
解得：x=5 102，
∴a= 10，x−a=3 102，即AD=5 102，DF=3 102，
在Rt△AFD中，AF= AD2−DF2=2 10．
取BC中点H，连接AH，作DG⊥BC，DM⊥BE，设EF=a，由折叠的性质得到AD=CD=DE=x，得到cs∠ABC=cs∠BED，从而推导出a=25x，由三角形中位线定理得到BG=152，从而推导出△EMD≌△CGD(AAS)，得到四边形MBGD是正方形，DG=152，AH=15，最后利用勾股定理解答即可．
本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
24.【答案】解：(1)设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元，
则由题意得：5x+3y=45010x+8y=1000，
解得：x=60y=50，
答：购进A商品每个需60元，B商品每个需50元．
(2)设A种足球每个降价m元，
则由题意得：100+20m>200(80−60−m)(100+20m)+7000=10000，
化简得：m>5m2−15m+50=0，
∴m=10，
∴A种足球每个降价10元．
【解析】(1)设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元，根据单价乘以个数，把两种足球的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；
(2)设A种足球每个降价m元，则根据“每个每降价1元，多售出20件，该商店对A种足球降价销售后每天销量超过200个”，可得100+20m>200；
再由题意可得A的利润为(80−60−m)(20m+100)；结合B每天可获利7000元，A，B两种足球每天获利10000元，列方程即可求出m的值．
本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，具有较强的综合性．
25.【答案】解：(1)EF=8 23．
(2)∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF//AC，
∠FDE=∠C=45°，即△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=DF=x，DA=DC=8，
∴AE=CF=8−x，
∴EH= 22AE= 22(8−x)，EF= 2DE= 2x，
∴y=S1S2=12×(8−x)×6 2x× 22(8−x)=3x，
∴y关于x的函数解析式为y=3x．
(3)如图②，过点P作PR⊥OM于M，PQ⊥ON于Q．
∴PQ//OM，
∴△NQP∽△NOM，
∴PQMO=NQNO，
设PQMO=NQNO=k，
∴MO=ak，NQ=kON，ON=b1−k，
S△MON=12OM·ON=12·abk−k2=32·1−(k−12)2+14，
∴k=12时，△OMN的面积的最小值为32×114=6．
【解析】(1)设EF=m.证明AH=HG=CG=m，构建方程求解即可．
解：设EF=m，
∵BC=14，BD=6，
∴CD=BC−BD=14−6=8，
∵AD=8，
∴AD=DC=8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即△ADC是等腰直角三角形，
∴AC= 2AD=8 2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=FG=GH=EF=m，∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠AHE=∠FGC=90°，
∵∠DAC=∠C=45°，
∴∠AEH=∠EAH=45°，∠GFC=∠C=45°，
∴AH=EH=m，CG=FG=m，
∴AH=HG=CG=m，
∴3m=8 2，
∴m=8 23，
∴EF=8 23．
(2)解直角三角形可得EH= 22AE= 22(8−x)，EF= 2DE= 2x，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．
(3)如图②中，过点P作PR⊥OM于M，PQ⊥ON于Q，由△NQP∽△NOM，得PQMO=NQNO，设其比值为k，则有MO=ak，NQ=kON，ON=b1−k，进而得到S△MON关于k的函数关系式，利用函数特征分析即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用函数特征解决最值问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF；
(2)解：过G作GH⊥BC于H，如图：

设DG=x，则AE=2x，
∴GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，
∵∠GHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD=AB=4，CH=DG=x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF=AE=2x，
∴FH=CF−CH=x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2=GF2，
∴(x)2+42=(8−3x)2，
解得x=3+ 3(舍去)或x=3− 3，
∴AE=2x=6−2 3，
∴AE的长为6−2 3；
(3)解：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，B′D，OG，OB，如图：

∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA=OD，OQ=AB=2，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°−∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴GQOQ=OQEQ，
即GQ⋅EQ=OQ2，
∴GQ⋅EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴AQ=DQ=12AD=4，
∵AE=1，
∴EQ=AQ−AE=3，GQ=DQ−GD=4−GD，
∴3(4−GD)=4，
∴GD=83，
∴GE=AD−AE−DG=133，

∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF=B′F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF=DE，
∴B′F=DE，
同理OD=OB=OB′，
由(1)知GF=GE，
∴B′F−GF=DE−GE，
即B′G=DG，
∵OG=OG，OD=OB′，
∴△DOG≌△B′OG(SSS)，
∴∠ODG=∠OB′G，
∵DG=B′G，∠DGK=∠B′GH，
∴△DGK≌△B′GH(ASA)，
∴DK=B′H，GK=GH，
∴OD−DK=OB′−B′H，
即OK=OH，
∵OG=OG，GK=GH，
∴△OGK≌△OGH(SSS)，
∴S△OGK=S△OGH，
∴S1=2S△OGK，
∴S1S2=2S△OGKS2，
∵∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，
∴∠GEF=∠GFE=∠GDB′=∠GB′D，
∴EF//B′D，
∴△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，
∴OKDK=OFB′D，
∵S△OGKS2=OKDK，
∴S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，
∵△EGF∽△DGB′，
∴EFB′D=GEGD，
∴S1S2=13383=138．
【解析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠GEF=∠BFE，而四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，有∠BFE=∠GFE，故∠GEF=∠GFE，GE=GF；
(2)过G作GH⊥BC于H，设DG=x，可知AE=2x，GE=AD−AE−DG=8−3x=GF，根据点O为矩形ABCD的对称中心，可得CF=AE=2x，故FH=CF−CH=x，在Rt△GFH中，(x)2+42=(8−3x)2，解得x的值从而可得AE的长为6−2 3；
(3)过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，B′D，OB，由点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，可得O为EF中点，OA=OD，OQ=AB=2，证明△GOQ∽△OEQ，根据相似三角形的性质得GQ⋅EQ=OQ2，故GQ⋅EQ=4，即可求出GD=83，GE=133，根据轴对称图形的性质得出B′F=DE，OD=OB=OB′，可得△DOG≌△B′OG(SSS)，∠ODG=∠OB′G，从而△DGK≌△B′GH(ASA)，DK=B′H，GK=GH，即可证△OGK≌△OGH(SSS)，得S△OGK=S△OGH，有S1S2=2S△OGKS2，而∠EGF=∠DGB′，GE=GF，GD=GB′，知EF//B′D，可得△OKF∽△DKB′，△EGF∽△DGB′，得OKDK=OFB′D，进而推出S1S2=2S△OGKS2=2OKDK=2OFB′D=EFB′D，又△EGF∽△DGB′，根据相似三角形的性质即可得解．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．