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2025年高考数学一轮复习-集合的概念与运算【课件】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-集合的概念与运算【课件】，共31页。PPT课件主要包含了元素与集合的关系，分考点讲解，集合与集合之间的关系，集合的基本运算，集合新定义问题，容斥原理，元素与集合间的关系，对点强化，集合与集合间的关系，集合间的基本运算等内容，欢迎下载使用。
研究一个集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示的集合，先要弄清其元素表示的意义(主要考虑是数集还是点集)，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制条件(性质)，最后根据元素的互异性，确定集合中的元素．(2)用列举法表示的集合，要注意集合中元素的互异性．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性，从而确定集合中的元素．
1．子集(真子集)个数的求解方法(1)列举法：将集合的子集(真子集)一一列举出来，从而得到子集(真子集)的个数．适用于集合元素较少的情况．(2)公式法： 含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集个数是2n－1，非空真子集个数是2n－2.
已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，则A∩B的子集个数为( )A．4 B．5C．7 D．15【解析】因为A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}＝{x|－2
已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，则( )A．N⊆M B．M⊆NC．M∩N≠∅ D．M∪∁RN＝R【解析】由M＝{x|x2－3x＋2≤0}得M＝{x|1≤x≤2}．对于A，B，由题意得M⊆N，故A错误，B正确；对于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠∅，故C正确；对于D，因为∁RN＝{x|x≤－1}，所以M∪∁RN＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D错误．故选BC.【答案】BC
3．利用集合间的关系求参数的值(取值范围)(1)若未指明集合非空，则应考虑空集的情况，即由A⊆B知存在A＝∅和A≠∅两种情况，需要分类讨论；此外，集合中含有参变量时，求得结果后还需要利用元素的互异性进行检验．(2)若集合是连续数集的问题，则可以利用数轴求解，注意数形结合和分类讨论思想的运用．
已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．
1．集合的基本运算解集合运算问题时应注意以下三点：(1)看元素构成，即集合中的元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，明确集合中元素的特点；(3)注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴、坐标系和Venn图等．
2．利用集合运算结果求参数的取值范围根据集合运算的结果确定参数取值范围的步骤：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组); (4)解不等式(组); (5)检验．注意：(1)确定不等式解集的端点的大小关系时，需检验能否取“＝”； (2)千万不要忘记考虑空集．
集合新定义问题的解决方法(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在．常见的新定义有新概念、新运算、新法则等．(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环，则下列说法错误的是( )A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[2，4]∈F
【解析】对于A，由题意可得F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；对于B，若U＝{a，b，c}，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；对于C，若F＝{∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}，则F满足环的要求，含有4个元素，且{2}，{3，5}∈F，故C正确；对于D，设A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(∁UB)＝[0，2)∈F，B∩(∁UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，设C＝[0，2)，A∩(∁UC)＝[2，3]∈F，设D＝[0，4]，E＝[2，3]，D∩(∁UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上∅，F中至少含有8个元素，故D错误．故选D.【答案】D
容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复．如果被计数的事物有A，B，C三类，那么A类和B类和C类元素个数的总和＝ A类元素个数＋ B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数＋既是A类又是B类且是C类的元素个数，即card(A∪B∪C) ＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－ card(C∩A)＋ card(A∩B∩C)．
某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，问接受调查的小学生人数为( )A．120 B．144C．177 D．192
【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系．不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.设小学生总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，则card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.故选A.
设集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝1}，则A∩B中元素的个数是( )A．2 B．1C．0 D．以上都不对
设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则( C)A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【解析】对于A，由题意，得A∩B＝{0，1}，故A正确；对于B，∁UB＝{2，4}，故B错误；对于C，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确；对于D，集合A的真子集个数为23－1＝7，故D错误．
若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知X＝{a，b，c}，对于下列四个选项，其中是集合X上的拓扑的集合τ的是(B )A．τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}B．τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}C．τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}D．τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}
【解析】对于A，τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以A不是集合X上的拓扑的集合τ，故A错误；对于B，τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，所以B是集合X上的拓扑的集合τ，故B正确；对于C，τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}，X＝{a，b，c}∉τ，所以C不是集合X上的拓扑的集合τ，故C错误；对于D，τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}，满足(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，所以D是集合X上的拓扑的集合τ，故D正确．
高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少有6人，那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )A．16 B．17C．18 D．19
【解析】把50名学生看成一个集合U，选择物理课程的学生组成集合A，选择化学课程的学生组成集合B，选择生物课程的学生组成集合C.要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除去这三门课程都不选的10人，这三门课程都选的10人，则其他课程选择人数均为最少．由题易得单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，选化学、生物两门，不选物理的最少3人，选物理、生物两门，不选化学的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如图所示的Venn图．所以同时选物理和化学两门课程且不选生物的至多8人，所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10＋8＝18.故选C.
研究一个集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示的集合，先要弄清其元素表示的意义(主要考虑是数集还是点集)，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制条件(性质)，最后根据元素的互异性，确定集合中的元素．(2)用列举法表示的集合，要注意集合中元素的互异性．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性，从而确定集合中的元素．
1．子集(真子集)个数的求解方法(1)列举法：将集合的子集(真子集)一一列举出来，从而得到子集(真子集)的个数．适用于集合元素较少的情况．(2)公式法： 含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集个数是2n－1，非空真子集个数是2n－2.
已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，则A∩B的子集个数为( )A．4 B．5C．7 D．15【解析】因为A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}＝{x|－2
已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，则( )A．N⊆M B．M⊆NC．M∩N≠∅ D．M∪∁RN＝R【解析】由M＝{x|x2－3x＋2≤0}得M＝{x|1≤x≤2}．对于A，B，由题意得M⊆N，故A错误，B正确；对于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠∅，故C正确；对于D，因为∁RN＝{x|x≤－1}，所以M∪∁RN＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D错误．故选BC.【答案】BC
3．利用集合间的关系求参数的值(取值范围)(1)若未指明集合非空，则应考虑空集的情况，即由A⊆B知存在A＝∅和A≠∅两种情况，需要分类讨论；此外，集合中含有参变量时，求得结果后还需要利用元素的互异性进行检验．(2)若集合是连续数集的问题，则可以利用数轴求解，注意数形结合和分类讨论思想的运用．
已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．
1．集合的基本运算解集合运算问题时应注意以下三点：(1)看元素构成，即集合中的元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，明确集合中元素的特点；(3)注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴、坐标系和Venn图等．
2．利用集合运算结果求参数的取值范围根据集合运算的结果确定参数取值范围的步骤：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组); (4)解不等式(组); (5)检验．注意：(1)确定不等式解集的端点的大小关系时，需检验能否取“＝”； (2)千万不要忘记考虑空集．
集合新定义问题的解决方法(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在．常见的新定义有新概念、新运算、新法则等．(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环，则下列说法错误的是( )A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[2，4]∈F
【解析】对于A，由题意可得F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；对于B，若U＝{a，b，c}，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；对于C，若F＝{∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}，则F满足环的要求，含有4个元素，且{2}，{3，5}∈F，故C正确；对于D，设A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(∁UB)＝[0，2)∈F，B∩(∁UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，设C＝[0，2)，A∩(∁UC)＝[2，3]∈F，设D＝[0，4]，E＝[2，3]，D∩(∁UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上∅，F中至少含有8个元素，故D错误．故选D.【答案】D
容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复．如果被计数的事物有A，B，C三类，那么A类和B类和C类元素个数的总和＝ A类元素个数＋ B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数＋既是A类又是B类且是C类的元素个数，即card(A∪B∪C) ＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－ card(C∩A)＋ card(A∩B∩C)．
某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，问接受调查的小学生人数为( )A．120 B．144C．177 D．192
【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系．不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.设小学生总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，则card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.故选A.
设集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝1}，则A∩B中元素的个数是( )A．2 B．1C．0 D．以上都不对
设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则( C)A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【解析】对于A，由题意，得A∩B＝{0，1}，故A正确；对于B，∁UB＝{2，4}，故B错误；对于C，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确；对于D，集合A的真子集个数为23－1＝7，故D错误．
若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知X＝{a，b，c}，对于下列四个选项，其中是集合X上的拓扑的集合τ的是(B )A．τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}B．τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}C．τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}D．τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}
【解析】对于A，τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以A不是集合X上的拓扑的集合τ，故A错误；对于B，τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，所以B是集合X上的拓扑的集合τ，故B正确；对于C，τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}，X＝{a，b，c}∉τ，所以C不是集合X上的拓扑的集合τ，故C错误；对于D，τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}，满足(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意两个元素的并集属于τ；(3)τ中任意两个元素的交集属于τ，所以D是集合X上的拓扑的集合τ，故D正确．
高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少有6人，那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )A．16 B．17C．18 D．19
【解析】把50名学生看成一个集合U，选择物理课程的学生组成集合A，选择化学课程的学生组成集合B，选择生物课程的学生组成集合C.要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除去这三门课程都不选的10人，这三门课程都选的10人，则其他课程选择人数均为最少．由题易得单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，选化学、生物两门，不选物理的最少3人，选物理、生物两门，不选化学的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如图所示的Venn图．所以同时选物理和化学两门课程且不选生物的至多8人，所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10＋8＝18.故选C.
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