专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】公式的基本应用4
【考点2】公式的逆用及变形5
【考点3】角的变换问题6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】8
【培优篇】9
考试要求：
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sinαcsα.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
二、多选题
6．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点突破
【考点1】公式的基本应用
一、单选题
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
4．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 .
6．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
反思提升：
1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【考点2】公式的逆用及变形
一、单选题
1．（2024·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
3．（2024·安徽·三模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期是
C．的值域为D．在上单调递增
4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2024·江西·模拟预测）已知，，则 .
6．（2023·四川成都·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ．
反思提升：
1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcs x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
【考点3】角的变换问题
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高三上·河南洛阳·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ．
6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若是锐角，，则 ．
反思提升：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(π,3)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)等.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖南·二模）若锐角满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，则（ ）
A．B．7C．D．
4．（2024·江西南昌·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象C关于中心对称
C．函数在区间内是增函数
D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到
6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2024·广西·二模）已知，则 .
9．（2024·全国·二模）已知，则 .
10．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 .
四、解答题
11．（23-24高一下·北京房山·期中）设函数由下列三个条件中的两个来确定：①；②最小正周期为；③．
(1)写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；
(2)求函数在区间上的最小值及相应的的值．
12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期；
(3)求函数的单调递增区间．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptlemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（ ）
A．
B．若，则
C．
D．（）
三、填空题
3．（2024·北京海淀·二模）已知函数.
（i）若，则函数的最小正周期为 .
（ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 .
四、解答题
4．（2024·北京海淀·二模）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.
(1)求的值；
(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.
条件①：；
条件②：的图象可由的图象平移得到；
条件③：在区间内无极值点，且.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ）
A．B．C．-1D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）在单位圆上任取一点，圆O与x轴正半轴的交点是A，设将绕原点O旋转到所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．对于恒成立
C．设，若在上有且仅有3个极值点，则
D．函数的最大值为
三、填空题
3．（2021·浙江·模拟预测）若向量满足，则的最大值是 .