第07讲 有理数的除法（3个知识点+5个考点+易错分析）（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

这是一份第07讲 有理数的除法（3个知识点+5个考点+易错分析）（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024），文件包含第07讲有理数的除法3个知识点+5个考点+易错分析原卷版docx、第07讲有理数的除法3个知识点+5个考点+易错分析解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

知识点1.有理数除法法则（重点）
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【例1】计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－eq \f(1,4))；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－eq \f(1,4))＝－(12÷eq \f(1,4))＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
方法总结：注意先确定运算的符号．根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．本题属于基础题，考查对有理数的除法运算法则掌握的程度．
【变式1-1】计算−4÷2的结果是（ ）
A．−2B．2C．−6D．−8
【答案】A
【分析】根据有理数的除法法则求解即可.
【详解】解：−4÷2=−2；
故选：A.
【点睛】本题考查了有理数的除法，属于应知应会题型，熟知有理数的除法法则是解题的关键.
【变式1-2】计算：___________×−6=−54．
【答案】9
【分析】根据乘法法则的关系进行解答便可．
【详解】解：∵−54÷(−6)=9，
∴9×(−6)=−54，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数乘法，有理数除法，熟记乘除法运算的互逆关系是解题的关键．
【变式1-3】．在−2，3，−4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______．
【答案】−6
【分析】取异号两数相除，商绝对值较大．
【详解】解：根据题意得，
商最小的是：12÷(−2)=−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．
【例2】计算：
(1)(－18)÷(－eq \f(2,3))； (2)16÷(－eq \f(4,3))÷(－eq \f(9,8))．
解析：本题可采用有理数的除法：除以一个数就等于乘以这个数的倒数解答．
解：(1)(－18)÷(－eq \f(2,3))＝(－18)×(－eq \f(3,2))＝18×eq \f(3,2)＝27；
(2)16÷(－eq \f(4,3))÷(－eq \f(9,8))＝16×(－eq \f(3,4))×(－eq \f(8,9))＝16×eq \f(3,4)×eq \f(8,9)＝eq \f(32,3).
方法总结：此题考查了有理数的除法运算，有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求．
【变式2-1】把−43÷−54转化为乘法是（ ）．
A．53B．−43×−45C．−43×45D．−43×−54
【答案】B
【分析】根据有理数的除法运算可进行求解．
【详解】解：−43÷−54=−43×−45，
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键．
【变式2-2】两个数的积是−29，其中一个是−16，则另一个是______．
【答案】43
【分析】根据题意列出算式即可求解．
【详解】解：依题意−29÷−16=−29×−6=43，
故答案为：43．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式2-3】计算：
(1)(−0.5)÷(−14) (2)(−1.25)÷14
(3)47÷(−12) (4)−378÷−7÷−9
(5)(−0.75)÷54÷(−0.3) (6)(−3.2)÷965
(7)(−914)÷2.5
【答案】(1)2，(2)−5，(3)−121，(4)−6，(5)2，(6)−16，(7)−935
【分析】（1）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（3）根据有理数除法法则计算即可；
（4）根据有理数除法法则计算即可；
（5）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；
（7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可．
【详解】（1）解：(−0.5)÷(−14)=12×4=2．
（2）解：(−1.25)÷14=−54×4=−5．
（3）解：47÷(−12)=−47×112=−121．
（4）解：−378÷−7÷−9=−378×17×19=−6．
（5）解：(−0.75)÷54÷(−0.3)=34×45×103=2．
（6）解：(−3.2)÷965=−165×596=−16．
（7）解：(−914)÷2.5=−914×25=−935．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键．
知识点2.有理数的乘除混合运算（重点）
有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.
注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算
【例3】计算：
(1)－2.5÷eq \f(5,8)×(－eq \f(1,4))； (2)(－eq \f(4,7))÷(－eq \f(3,14))×(－1eq \f(1,2))．
解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．
解：(1)原式＝－eq \f(5,2)×eq \f(8,5)×(－eq \f(1,4))＝eq \f(5,2)×eq \f(8,5)×eq \f(1,4)＝1；
(2)原式＝(－eq \f(4,7))×(－eq \f(14,3))×(－eq \f(3,2))＝－(eq \f(4,7)×eq \f(14,3)×eq \f(3,2))＝－4.
方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．
【变式3-1】计算−1÷−5×−15的结果是（ ）
A．−125B．125C．−1D．1
【答案】A
【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可
【详解】解：−1÷−5×−15
=15×−15
=−125．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键．
【变式3-2】计算：−48÷7×17=_____________．
【答案】−4849
【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可．
【详解】解：−48÷7×17=−48×17×17=−4849，
故答案为：−4849．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除法．
【变式3-3】计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
(3)−72×−23×−35÷−815．
【答案】(1)18
(2)−5
(3)54
【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；
（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．
【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）解：−15×−0.1÷125×−10
=−15×110×25×10
=−5；
（3）解：−72×−23×−35÷−815
=72×23×35×158
=48×98
=54．
【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．
知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点）
1.有理数的加减乘除混合运算
在运算时要注意按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,应先算括号里面的.在同级运算中,要按从左到右的顺序来计算,并能合理运用运算律,简化运算
2.计算器的使用
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键.另外,还要注意以下几点:
(1)计算器要平稳放置,以免按键时发生晃动和滑动
(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时,要注意按关闭键
(3)确定按键顺序后,按照算式从左到右的顺序直接输入
(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号,以免因漏按或按不实而出现错误.
(5)每次运算时,要按一下清零键
6)注意负数的输入方式.
【例4】计算：．
(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）
(2)请给出正确解答．
【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解
(1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误；
解法2，，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误．
故答案为：①；③．
(2)解：原式
【变式4-11】34−25×34÷12=（ ）．
A．310 B．511C．320D．13
【答案】C
【分析】根据有理数的四则运算求解即可．
【详解】解：34−25×34÷12=34−310×2=34−35=320
故选：C
【点睛】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则．
【变式4-2】计算：(−1)÷1+0÷8−(−5)×(−2)=__________
【答案】−11
【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式=−1+0−10 =−11，
故答案为：−11．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除的运算法则是解题的关键．
【变式4-3】计算：．
【答案】
【详解】解：
易错点.有理数除法运算中误用分配律
【例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程．
计算：．
解：原式＝
＝
＝
＝2
你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．
【详解】答：不正确，正确的解答如下，
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键．
【变式5-1】．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】(1)解法一
(2)
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）解：解法二：
；
解法三：原式的倒数为：
，
所以原式．
【变式5-2】．计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．
【答案】(1)前后两部分互为倒数
(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析
(3)另一部分的结果为
(4)
【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可；
（2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便；
（3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可；
（4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可．
（1）
解：∵乘积为1的两个数互为倒数
∴前后两部分互为倒数．
（2）
解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；
计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算；
∴先计算后面部分比较方便
计算如下：
．
（3）
解：∵前后两部分互为倒数，后面部分：
∴前面部分：．
（4）
解：
．
【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等．
考点1：有理数的加减乘除混合运算的实际应用
1．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？
(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？
(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）
【答案】(1)这20箱樱桃质量相差最大是1．3千克
(2)这20箱樱桃的总质量是205千克
(3)该水果店销售这批樱桃共盈利1312元
【详解】（1）解：（千克）
答：这20箱樱桃质量相差最大是1.3千克．
（2）
（千克）
这20箱樱桃的总质量是205千克．
（3）
（元）
（元）
（元）
答：该水果店销售这批樱桃共盈利1312元．
2．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）
(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？
(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？
(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（人次）
答：该采样点前三天共完成了人次的核酸采样；
（2）解：（人次）
答：采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了人次；
（3）解：（人次）
（根）
答：该采样点在这周至少需要根采样管
3．某市出租车收费标准如下表：
(1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？
(2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？
【答案】(1)13.6千米
(2)租往返的车比较划算，63.24元
【详解】（1）解：
（千米）
答：小华家到动物园有13.6千米．
（2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算．
（千米）
（元）
答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元．
考点2：与有理数相关的新定义运算
4．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘法和除法运算，新定义的运算，掌握有理数的乘法和除法运算法则，理解新定义的运算法则是解题关键，根据题意列式计算即可；
【详解】解：，
故选：C．
5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（ ）
A．B．99!C．100D．2!
【答案】C
【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
6.对于有理数a、b，定义运算“”如下：，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】＜
试题解析：=，
，
＜.
考点3：有理数混合运算的材料阅读题
7．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【详解】解：
，
所以，原式．
8．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：
，
所以，原式．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
9．老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下：
小明：原式．
小军：原式．
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来．
(3)用你认为最合适的方法计算．
【答案】(1)小军
(2)有，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）小军的方法使用了乘法分配律进行运算，更为方便；
（2）可将改写为 再用乘法分配律进行运算更方便；
（3）将 改写为后再计算即可．
【详解】（1）解：小军的方法更好；
（2）解：有更好的解法：
原式


（3）原式


．
【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握乘法分配率是本题的解题关键．
考点4：有理数乘除法的创新应用
10．（22-23七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以所得的余数．以年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，年为农历壬寅年．
请你依据上述规律推断年为农历 年．
【答案】己巳
【分析】根据题意，代入求出天干、地支即可．
【详解】解：天干为：
，
地支为：
年为农历己巳年．
故答案为：己巳．
【点睛】本题结合实际生活考查了有理数的计算；读懂题意、建立算式是解题的关键．
11.如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度．
【答案】(1)点B所对应的数是4；
(2)A，B两点间的距离是14个单位长度；
(3)经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
【详解】（1）解：，
故点B所对应的数是4；
（2）解：（秒），
（个单位长度），
故A，B两点间的距离是14个单位长度；
（3）解：①运动后的B点在A右边4个单位长度，
（秒）；
②运动后的B点在A左边4个单位长度，
（秒），
故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
12.如图，
7 2 5 1
(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______
(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ，
(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________
【答案】(1)35
(2)
(3)，2，5，1；（答案不唯一）
【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是，
故答案为：35；
（2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是；
故答案为：；
（3）选取：，2，5，1；
算式为：（答案不唯一）
考点5：综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值
13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“