江西省瑞金第一中学、丰城九中联考2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省瑞金第一中学、丰城九中联考2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列是与奥运会有关部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 若，则化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：∵有意义，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：D．
3. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A B. 0C. 2022D. 4044
答案：B
解析：
详解：∵m为的根，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
4. 已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A. 或2B. C. 2D.
答案：B
解析：
详解：解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
5. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A. 50°B. 48°C. 45°D. 36°
答案：B
解析：
详解：解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cs∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
6. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
答案：A
解析：
详解：解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
二、填空题（共18分）
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________________．
答案：且
解析：
详解：解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
8. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
答案：
解析：
详解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
9. 如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于点，则解集是_______．
答案：
解析：
详解：解：根据，
当时，直线在抛物线下方，
故关于的不等式的解集是：，
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为______．
答案：
解析：
详解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故答案为：．
11. 如图，中，．点P为内一点，．当的长度最小时，的面积是____．
答案：
解析：
详解：解：如图所示，取中点，连接，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时有最小值，即此时有最小值，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴
∴，
又，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________．
答案：2或8﹣2
解析：
详解：解：①如图，设BC边中点为M，连接DM，
当E在DM上时，
由折叠可知，CP＝PE，∠C＝∠DEP，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴AB＝15，CM＝BC，
∴CD＝6，
∴DM＝，DE＝6，
∴EM＝，
在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2，
∴（﹣CP）2＝CP2+（）2，
∴CP＝2；
②如图，设AB边的中点为N，连接DN，
当E点落在DN上时，
∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°，
∴CD＝6，DN＝，
由折叠可知，DE＝CD，∠C＝∠DEP＝90°，
∵DE∥CB，
∴∠CDE＝90°，
∴四边形CDEP是矩形，
∵DE＝CD，
∴四边形DCPE正方形，
∴CP＝CD＝6，此时点落在的延长线上（不符合，舍去）
③如图，设BC、AB中点分别为M、N，连接MN、DN，
当E点落在MN上时，
由折叠可知，DE＝CD，CP＝PE，∠C＝∠DEP＝90°，
∵BC＝9，AC＝12，
∴CM＝，CD＝6，DN＝，MN＝6，
在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，
∴62＝NE2+（）2，
∴NE＝，
∴EM＝6﹣，
在Rt△PEM中，PE2＝EM2+PM2，
∴CP2＝（﹣CP）2+（6﹣）2，
∴CP＝；
综上所述，CP的值为2或，
故答案为：2或．
三、解答题（13、14、15、16、17题各6分，18、19、20题各8分，21、22题各9分，23题12分，共84分）
13. 计算或解方程：
（1）计算：．
（2）解方程：．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：
小问2详解：
解：
方程两边同时乘以，得
即
即
解得：
当时，，则是原方程的增根，
当时，，则是原方程的解，
∴原方程解为
14. 在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦，使；
（2）在图2中以为边作一个45°的圆周角．
答案：（1）见解析；（2）见解析
解析：
详解：解：（1）如下图：分别延长、交半圆于、，线段所求弦．
理由如下：∵AB=AC,
∴∠B=∠C，
又∵，
∴∠F=∠C，
∴∠C=∠F，
∴EF∥BC，
（2）如下图，（以下画法供参考）：在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于， 则为所作．
理由如下：∵EF∥BC，
∴，
∴∠EBC=∠FCB，
∴MC=MB，
又∵AB=AC，
∴MA垂直平分BC，
∴D为的中点，
∵为半圆，
∴∠CBD=45°.
15. 某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
小问2详解：
列表如下：A，B，C，D表示四个小区，
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
16. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

答案：(1)证明见解析(2)2
解析：
详解：试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出
由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径．
试题解析：(1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分



∴半径为
17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：关于x的一元二次方程有两个实数根和，
，
，
；
小问2详解：
解：由题意得，，
∵，
∴，
，
，
，
，，
由（1）知道，
．
18. 如图，点O为的对角线的中点，直线l绕点O旋转，当时，与边分别交于点E，F，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
答案：（1）见解析 （2）3
解析：
小问1详解：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵O为的中点，
∴
在和中，
，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
小问2详解：
过点C作交于点H，

∴°，
∵四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积
19. 如图，是的直径，是弦，与交于点．的切线交的延长线于点，且．

（1）求证：点是弧的中点．
（2）连接，取的中点，连接．若，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
小问1详解：
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是弧的中点；
小问2详解：
解：作于点，
设的半径为，则，
在中，，
∴，
∴解得：，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
20. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.
答案：（1）见解析
（2）图中阴影部分的面积为－．
解析：
详解：（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝＝．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝＝．
∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝．
∴图中阴影部分的面积为：－．
21. 火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；
（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
答案：（1）抛物线的函数关系式为
（2）OH的距离为米
（3）当时，造价最低，最低造价为元．
解析：
小问1详解：
解：，，
，
由图像可设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线的函数关系式为；
小问2详解：
解：当时，，解得，，
，，即，
当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，
，
抛物线的形状与抛物线完全相同，如图所示：

，
，即在G到Q的运动过程中，求OH的距离15米；
小问3详解：
解：设，则，，
，，
，
，
开口向上，
当时，最短，最短为，
（元，
当时，造价最低，最低造价为元．
22. 如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．
（1）初步探究：当点G落在边上时，求长；
（2）深入探究：在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．
答案：（1）
（2）在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为
（3）点在射线上运动过程中，长的最大值为
解析：
小问1详解：
当点落在边上时，如图1，
四边形是矩形，
，，，
由翻折得：，
在中，，
；
小问2详解：
如图2，以为圆心，长为半径作，
由翻折得：，
点在上运动，
当点在线段上时，最小，此时，，
在中，，
，
故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；
小问3详解：
如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，

，
点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
则最大时，最大，
由翻折得：，
点在上运动，
当经过点时，最大，如图4，
在中，，
，
，
故点在射线上运动过程中，长的最大值为．
23. 已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；
（3）存在，P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．
解析：
本题解析：
（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），
∴﹣4=a•1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴衍生直线为y=﹣x﹣3．
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，
解得 或，
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，
∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1=a（0﹣1）2﹣1，
解得 a=2，
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（1，﹣4），
∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，
OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，
MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．
①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，
解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．
②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，
解得 x=9，即P（9，﹣2）．
③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，
解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．
综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）