内蒙古包头市青山区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古包头市青山区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是，如图，点A，图1是一个地铁站入口的双翼闸机等内容，欢迎下载使用。
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾B．厨余垃圾C．其它垃圾D．可回收物
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．已知x＜y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+3＞y+3B．3﹣x＞3﹣yC．x﹣3＞y﹣3D．﹣3x＜﹣3y
解：A、∵x＜y，
∴x+3＜y+3，故本选项不符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴3﹣x＞3﹣y，故本选项符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确．
故选：D．
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤2
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴4﹣2x≥0，
解得：x≤2．
故选：D．
5．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．AB2＝AC2+BC2
解：A、∵BC2+AC2＝42+52＝41，AB2＝（）2＝41，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵AB：BC：AC＝3：4：5，
∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∵BC2+AB2＝（4k）2+（3k）2＝25k2，AC2＝（5k）2＝25k2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有两条边、一个角相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C．全等三角形对应边上的中线相等
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
解：A、两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误，为假命题；
B、等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误，为假命题；
C、正确，为真命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，为假命题，
故选：C．
7．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
8．如图，点A（0，4），△AOB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的对应点A'在直线上，则△AOB向右平移的长度为（ ）
A．B．10C．8D．5
解：将y＝4代入中，
4＝x，
解得x＝5，
∴△AOB向右平移的长度为5，
故选：D．
9．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cmB．cm
C．64cmD．54cm
解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
10．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故选：C．
二、填空题
11．不等式x﹣1≤2的解集中所有非负整数的解是 0，1，2，3 ．
解：移项，得：x≤2+1，
合并同类项，得：x≤3，
不等式的非负整数解为0，1，2，3．
故答案为：0，1，2，3．
12．计算：20212﹣4042×2020+20202＝ 1 ．
解：20212﹣4042×2020+20202
＝20212﹣2×2021×2020+20202
＝（2021﹣2020）2
＝1．
13．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，那么这个等腰三角形的周长为 13 ．
解：分情况讨论：
①当三边是3，2，5时，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是3，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是13．
故答案为：13．
14．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝ ﹣2 ．
解：∵（3x+2）（x﹣1）＝3x2﹣x﹣2，
∴3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴mn＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＞0的解集为 x＜﹣1 ．
解：由图可知：两条直线的交点坐标为（﹣1，﹣2），
∵（k1﹣k2）x+b＞0，
∴k1x﹣k2x+b＞0，
∴k1x+b＞k2x，即直线l1在直线l2的上方，
∵当x＜﹣1时，直线l1在直线l2的上方，
∴解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
16．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 65° ．
解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
17．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 490 ．
解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝10×72
＝490．
故答案为：490．
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，则下列结论：①∠EAF＝45°；②△EBF为等腰直角三角形；③EA平分∠CEF；④BE2+CD2＝DE2．正确的是 ①③④ ．
解：由旋转的性质可得：AD＝AF，BF＝CD，∠FBA＝∠DCA＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠FAD﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，故①正确，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠DEA＝∠FEA，即：EA平分∠CEF，故③正确，
∴FE＝DE，
∵∠FBE＝∠FBA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBE中，BE2+BF2＝FE2，即：BE2+CD2＝DE2，故④正确，
∵CD与BE不一定相等，
∴BF与BE不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题
19．解不等式组
①解不等式+1＞x﹣3，并把它的解集表示在数轴上．
②解不等式组：．
解：①去分母，得：x﹣5+2＞2（x﹣3），
去括号，得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移项，得：x﹣2x＞﹣6+5﹣2，
合并同类项，得：﹣x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
；
②解不等式2x﹣7＜3（x﹣1），得：x＞﹣4，
解不等式，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x≥﹣1．
20．把下列各式因式分解：（1）a2（x﹣1）+4（1﹣x） （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2
解：（1）原式＝a2（x﹣1）﹣4（x﹣1）
＝（x﹣1）（a2﹣4）
＝（x﹣1）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
21．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）写出A2，B2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由图可得，A2（6，1），B2（5，3）．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
解答：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
23．某单位参加一次团体表演，现需采购一批演出服装，选定A，B两家服装供应商．经了解：两家供应商的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据参演要求，参加演出的女生人数应比男生人数的2倍少100人，设参加演出的男生x人．
（1）分别写出该单位购买A，B两家供应商服装所付的总费用分别是y1元和y2元与参演男生数量x之间的函数关系式．
（2）该单位购买哪家供应商的服装比较合算？请说明理由．
解：（1）根据题意，得参加演出的女生（2x﹣100）人．
y1＝0.7×120x+0.7×100（2x﹣100）+2200＝224x﹣4800，
y2＝0.8×100（x+2x﹣100）＝240x﹣8000，
∴y1和x之间的函数关系式为y1＝224x﹣4800，y2和x之间的函数关系式为y2＝240x﹣8000．
（2）当x＞200时，购买A公司的服装比较合算；当x＝200时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家购买；当x＜200时，购买B公司的服装比较合算．理由如下：
当y1＜y2时，得224x﹣4800＜240x﹣8000，解得x＞200；
当y1＝y2时，得224x﹣4800＝240x﹣8000，解得x＝200；
当y1＞y2时，得224x﹣4800＞240x﹣8000，解得x＜200；
∴当x＞200时，购买A公司的服装比较合算；当x＝200时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家购买；当x＜200时，购买B公司的服装比较合算．
24．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝ 60 °；
（2）如图2，若∠DAC是锐角，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，并加以证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求QB的长．
解答：（1）解：∠QEP＝60°；理由如下：
如图1，记EQ与PC相交于M点，
∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB＝∠CPA，
又因为∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°．
（2）∠QEP＝60°．
如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB+BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，如图3，同理可得：△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∠HAC＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，而AC＝4，
∴，
在Rt△PHC中，PC＝2CH，，
∴，
∴．