福建省厦门市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，则( )
A.B.C.D.
2．为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为( )
A.600B.480C.400D.360
3．在梯形ABCD中，，，，以AD所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为( )
A.B.C.D.
4．甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为( )
A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9
5．如图，甲在M处观测到河对岸的某建筑物在北偏东方向，顶部P的仰角为，往正东方向前进到达N处，测得该建筑物在北偏西方向.底部Q和M，N在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为( )
A.B.C.D.
6．已知，，是三个不重合的平面，，，则( )
A.若，则B.若，则
C.若，，则D.若，，则
7．若，则( )
A.1B.C.D.2
8．向量，，，满足，，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：( )
A.甲班成绩的平均数甲班成绩的中位数
B.乙班成绩的平均数乙班成绩的中位数
C.甲班成绩的平均数乙班成绩的平均数
D.乙班成绩的中位数甲班成绩的中位数
10．在梯形ABCD中，，，，则( )
A.B.
C.D.在上的投影向量为
11．在长方体中，，，动点P满足，则( )
A.当时，
B.当时，AC与DP是异面直线
C.当时，三棱锥的外接球体积的最大值为
D.当时，存在点P，使得平面
三、填空题
12．向量，，若，则__________.
13．在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则直线PB与AC所成角的大小为__________.
四、双空题
14．在中，，D为边BC的中点，的平分线交BC于点E，若的面积为1，则的面积为__________，DE的最小值为__________.
五、解答题
15．某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性，对生产线进行升级改造､为了分析升级改造的效果，随机抽取了12台车载激光雷达进行检测，检测结果如下：
统计后得到样本平均数，方差.
（1）升级改造后，若有的产品的探测距离在内，则认为升级改造成功；若改造成功且有的产品的探测距离在内，则认为升级改造效果显著.根据样本数据，分析此次升级改造的效果；
（2）采用在内的数据作为新样本，求新样本的平均数和方差.
16．甲每次投篮投进的概率是0.7连续投篮三次，每次投篮结果互不影响.记事件A为“甲至少投进两球
（1）用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由；
（2）用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”.以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：
，利用该模拟试验，估计事件
A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由.
17．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）已知，点O为的垂心，求的周长的最大值.
18．在三棱柱中，侧面平面ABC，，，E，F分别为AC，的中点.
（1）求证：平面BCF；
（2）若二面角的大小为，求证：BF与不垂直；
（3）若，求AB与平面BCF所成角的正弦值的取值范围.
19．已知点O为坐标原点，将向量绕O逆时针旋转角后得到向量.
（1）若，，求的坐标；
（2）若，求的坐标（用a，b，表示）；
（3）若点M，N在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以.
2．答案：C
解析：由题意知，样本中女生有30人，所以该校高一年级学生总数为.
3．答案：B
解析：由题意得直角梯形旋转一周所得几何体为圆台，则圆台高，上下底面半径分别为1，3，上下底面面积为，，
该几何体的体积为.故选：B.
4．答案：C
解析：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，则，，，所以甲、乙两人恰有一人获奖的概率为，故选C.
5．答案：A
解析：
6．答案：D
解析：若，则与可能平行，也可能相交，故A错误;
若，则与可能平行，也可能相交，故B错误;
若，，则m与n可能平行，也可能相交，故C错误;
若，，则，故D正确.
7．答案：B
解析：设，由，
得，
解得，，所以.
8．答案：B
解析：，，，因为，，
所以.因为，所以.
过，A，的圆C的半径，且，
则的最大值为，所以选B.
9．答案：BC
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ACD
解析：当时，点P在线段上，此时，故A正确;
当时，点P在线段上，此时AC与DP共面，故B错误;
当时，点P在线段的中点处，此时三棱锥的外接球，
即正方体的外接球，此时外接球半径，
外接球体积的最大值为，故C正确;
当时，，点P在线段的中点处，
此时平面，即存在点P，使得平面，故D正确.
故选ACD.
12．答案：2
解析：由于，所以，解得.故答案为：2
13．答案：
解析：根据题意，连接BD，设AC与BD的交点为O，连接PO，PDCAB.
因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又由四边形ABCD为正方形，则，而，则有平面PBD，又由平面PBD，则，
则即直线PA与AC所成角，又由，则，故答案为：．
14．答案：①6;②
解析：（1）在中，设A，B，C对应的边分别为a，b，c，因为D为BC的中点，所以.
因为AE为的平分线，，所以，所以，
所以，
因为，所以.
（2）在中，，所以，
因为
，
当且仅当时，等号成立，所以，所以.
15．答案：（1）升级改造成功，但效果不显著，理由见解析；（2）平均数150，方差为
解析：（1）依题意得，，
共有8个数据落在内，，
所以有产品的探测距离在内，
所以升级改造成功；
共有10个数据落在内，，
所以没有产品的探测距离在内，
所以升级改造成功，但效果不显著.
（2）依题意，需剔除数据，，
因为样本平均数，方差，
所以，，
所以，，
所以新样本的平均数，
新样本的方差为
.
16．答案：（1）该试验的样本空间为
，
共有8个样本点；这个试验不是古典概型，理由见解析；
（2）事件A的概率的估计值和有差异，理由见解析
解析：（1）该试验的样本空间为
，
共有8个样本点.
样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型.
（2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次，
则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9.
设事件“甲第i次投进”，，2，3，则
因为.
又因为每次投篮结果互不影响，所以，与相互独立，，与相互独立，，与相互独立，，与相互独立且，，，两两互斥，
所以
所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下：
①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；
②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大.
17．答案：（1）；（2）
解析：解法一：（1）依题，由正弦定理，
得，
由，得，
代入得，
即，
由，得，
得，
由，得.
（2）如图，由O为锐角三角形ABC的垂心，有，垂足为E，，垂足为F，即.
由，四边形FOEA内角和为，得
设，
在中，由余弦定理，
得，即，
由，得，当且仅当时，等号成立
，得
当时，的最大值为2
故周长的最大值为
解法二：（1）同解法一；
（2）由O为锐角三角形ABC的垂心，有，垂足为E，，垂足为F，
即.
由，四边形FOEA内角和为，得.
设，，则，
在中，由正弦定理
则，，
，
因为，故当时，，
故周长的最大值为
18．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
解析：解法一：（1）证明：取BC中点M，连接EM，FM，
在中，E，M分别是AC，BC的中点，所以，，
又F是的中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面BCF，平面BCF，所以平面BCF.
（2）证明：假设，
因为侧面平面ABC，侧面平面，，
平面ABC，所以侧面，
所以，，所以二面角的平面角为，
所以，
又侧面，所以，
因为，，BC，平面BCF，
所以平面BCF.
因为平面BCF，所以，
由（1）知，所以.
在平行四边形中，，，，
所以，
所以，所以，
所以，与矛盾，所以BF与不垂直.
（3）作于点P，作于点Q，连接，
由侧面，侧面，得，
又，BC，平面ABC，所以平面ABC.
所以，又，，
所以平面，所以，
在，，中，
，，，
因为，
所以，.
因为，所以，
又，所以，
所以，所以，
取中点G，所以，所以，
所以B，C，G，F四点共面，
连接EG，因为，
所以，
由（2）知侧面，所以平面侧面，
平面侧面，侧面，所以平面BCGF，
所以AB与平面BCF所成角为，
在等腰中，，
由，得，
连接BG，在中，，所以，
所以AB与平面BCF所成角正弦值的取值范围为.
解法二：（1）（2）同解法一；
（3）设点A到平面BCF的距离为d，
因为平面ABC，
所以
由（1）（2）知侧面，，
所以，
因为，
所以，
，
所以，
即，
所以
设AB与平面BCF所成角为，则
作于点P，作于点Q，连接，
由侧面，侧面，得，
又，BC，平面ABC，所以平面ABC.
所以，又，，所以平面，所以，
在，，中，
，，，
因为，
所以，
因为，所以，
又]，所以，
所以，所以，即
所以
所以AB与平面BCF所成角正弦值的取值范围为
19．答案：（1）；（2）；（3）答案见解析
解析：（1）设，，
已知，则，，
因为逆时针旋转，则，，
设，，
，
所以.
（2）设，有，
因为由绕坐标原点O逆时针旋转角后所得
所以，，
因为，，
所以，
所以.
（3）设时，，由（2）知逆时针旋转得：，
M，N也在抛物线上，得
消t得：，
有
即
将代入，得
由，可知x确定，则y与之唯一确定.
所以讨论的个数等价于讨论方程（*）中解（除去时的非零解）的个数
令①，
令②，
联立方程①②得，，，所以时，方程①②有相同解：
当时，方程①②均无解，所以的个数为0；
当时，方程①无解，②仅有一个解，所以的个数为1；
当时，方程①无解，②有一个非零解：
，所以的个数为1；
当或时，方程①无解，②有两个解，所以的个数为2；
当时，方程①仅有一解，②有两解或，所以的个数为2；
当时，方程①､②均有两个解，且两方程不同解，所以的个数为4.
综上所述：当时，的个数为0；当或0时，的个数为1；
当或时，的个数为2；当时，的个数为4；
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
探测距离（单位：m）
146
151
152
149
153
150
144
150
156