贵州省凯里市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次测试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省凯里市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，集合，则( )
A.B.C.D.
2．若复数，则z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A.16B.8C.4D.2
4．记为等差数列的前n项和.若，，则的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
5．等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前6项的和为( )
A.B.C.3D.8
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
7．函数的图像在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
8．已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A.，B.，C.，D.，
二、多项选择题
9．2，m，8为等比数列的前三项，则m的可能值为( )
A.4B.5C.D.
10．如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足的是( )
A.B.
C.D.
11．下图是函数的部分图像，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．函数的定义域为__________.
13．等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为________.
四、双空题
14．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________.
五、解答题
15．等差数列中，设数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前8项和.
16．已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求a的取值范围.
17．等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和.若，求m.
18．已知数列满足，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，集合，
.
2．答案：D
解析：因为，所以z的虚部为.
故选：D.
3．答案：C
解析：设正数的等比数列的公比为q，则，
解得，，故选C.
4．答案：C
解析：设等差数列的公差为d，
则，，
联立，解得.
故选：C.
5．答案：A
解析：设等差数列的公差，
等差数列的首项为1，，，成等比数列，
，
，且，，
解得，
前6项的和为.
故选：A.
6．答案：B
解析：设塔顶的盏灯，
由题意是公比为2的等比数列，
，
解得.
故选B.
7．答案：B
解析：，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
8．答案：D
解析：，
，
将代入得，，故选D.
9．答案：AC
解析：由2，m，8为等比数列的前三项，得，所以或.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2，对于A，如图①所示，连接AC，则，故（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，，，故，故不成立，故A错误.
对于B，如图②所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则，，由正方体可得平面ANTD，而平面NADT，故，而，故平面SNTM.又平面SNTM，所以，而，所以平面OPQ，而平面OPQ，故，故B正确.
对于C，如图③所示，连接BD，则，由选项B的判断可得，故，故C正确.
对于D，如图④所示，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AO，AC，PQ，OQ，PK，OK，则.因为，故，故，所以或其补角为异面直线PO，MN所成的角.因为正方体的棱长为2，故，，，故不是直角，故PO与MN不垂直，故D错误.故选BC.
11．答案：BC
解析：由函数图像可知：，则，所以不选A，
不妨令，
当时，，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
12．答案：
解析：函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．答案：-49
解析：由条件得，，对求导可得在上递减，在上递增，分别计算和可得，当时最小为-49.
14．答案：；
解析：先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点坐标为，则由，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得，代入，得，所以切线斜率为，切线方程为.同理可求得当时的切线方程为.综上可知，两条切线方程为，.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，由，，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
所以.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，，，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设的公比为q，由题设得.
由已知得，解得（舍去），或.
故或.
（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.
若，则.由得，解得.
综上，.
18．答案：（1）证明见解析，
（2）证明见解析
解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是，
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
，切点坐标为，
函数在点处的切线方程为，即，
切线与坐标轴交点坐标分别为，，
所求三角形面积为.
（2），，且.
设，则，
在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，，成立.
当时，，，，
存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
，
，恒成立；
当时，，，不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是.