北师大版1 菱形的性质与判定图片课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
菱形的两个面积公式.（1）S＝ ⁠；（2）S＝ ⁠.注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成 有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边 形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相 垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.
1．平行四边形的对边 ， 对角 ，对角线 ．2．菱形具有 的一切性质．3．菱形是 图形也是 图形．4．菱形的四条边都 ．5．菱形的两条对角线互相 ．
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢?
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢?
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD.∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC= AC·BO + AC·DO= AC·(BO + DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
如图的两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
菱形的判定与性质的综合问题
如图的两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即可得 AB = AD.
如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ⁠.
【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ，则AE ＝ AF ＝1.∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形.∴▱ ABCD 的面积＝ BC · AE ＝ CD · AF . ∴ BC ＝ CD . ∴▱ ABCD 是菱形.∴ AD ＝ CD . ∵∠ ADC ＝α＝30°，∠ AFD ＝90°，∴ CD ＝ AD ＝2 AF ＝2.∴菱形 ABCD 的面积＝ CD · AF ＝2×1＝2.故答案为2.
【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形 ABCD 为菱形是解决本题的关键.
如图，已知菱形 ABC D的周长为20， AC ∶ B D＝1∶2，则菱形ABC D的面积是 ⁠.
如图，在四边形 ABC D中，已知 A D∥ BC ，点E为 BC 的中点BC ＝2 A D，E A ＝ED＝2， AC 与ED相交于点F.
（1）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 A E C D是菱形？
解：（1）当 AB ⊥ AC 时，四边形 AECD 是菱形.理由如下：∵点 E 为 BC 的中点， BC ＝2 AD ，∴ BE ＝ EC ＝ AD . 又∵ AD ∥ BC ，∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形.∴ AB ∥ ED . ∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC . ∴四边形 AECD 是菱形.
（2）在（1）的条件下求出此时菱形 A E C D的面积.
（2）如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G .
由（1）知 EA ＝ AD ＝ EC ＝ BE ， AB ＝ ED .
∵ EA ＝ ED ＝2，
∴ AE ＝ BE ＝ AB ＝ EC ＝2.
∴△ ABE 是等边三角形.
∴∠ AEB ＝60°.
【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上的高是关键，用底乘高得到菱形的面积.
如图，在▱ ABC D中， A E⊥ BC ， A F⊥ C D，垂足分别为E，F，且 B E＝DF.
（1）求证：▱ ABC D是菱形；
（2）若 AB ＝5， AC ＝6，求四边形 ABC D的面积.
如图，在四边形 ABC D中， AC ⊥ B D于点O， A O＝ C O＝4， BO＝DO＝3，点 P 为线段 AC 上的一个动点.过点 P 分别作 PM ⊥ AD于点 M ，作 PN ⊥D C 于点 N ，连接 PB . 在点 P 运动的过程中，求 PM ＋ PN ＋ PB 的最小值.
【点拨】根据菱形的性质，知 PM ＋ PN 在点 P 的整个运动过程中是定值，最终转化为点到直线的距离问题，运用垂线段最短来解决.