初中数学3 正方形的性质与判定授课课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
1. 正方形的定义.有一组 相等，并且有一个角是 ⁠的平行四边形 叫做正方形.2. 正方形的性质定理.（1）正方形的四个角都是 ，四条边 ⁠；（2）正方形的两条对角线 且互相 ⁠.注：正方形具有一般平行四边形、菱形、矩形的一切性质.
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
(2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ，对称轴：.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
下列关于正方形的说法中，正确的是 （填序号）.①它的四条边相等，四个角相等；②两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；③是轴对称图形，但不是中心对称图形；④它的对称轴有4条.【思路导航】根据正方形具有菱形和矩形的所有性质，以及正 方形的特有性质判断即可.
【解析】正方形的四条边相等，四个角都是直角，故①正确；根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可得出两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，故②正确；正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故③错误；正方形有4条对称轴，故④正确.故答案为①②④.
【点拨】（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质.（2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.（3）正方形既是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；又是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线.
1. 下列描述中，错误的是（　C　）
2. 如图,在正方形 ABCD 中,连接 BD ，点 O 是 BD 的中点.点 M , N 是边 AD 上的两点,连接 MO , NO ,并分别延长交边 BC 于点 M ', N ',则图中的全等三角形共有（　C　）
（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°.∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°.∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ，∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°.∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°.∴∠ CBE ＝∠ DCF .
如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝1，点 E ， F 分别是正方形的边 BC ， DC 上的一点，且∠ EAF ＝45°.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；
（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
（2）求△ CEF 的周长.
（2）解：由（1）可知， EF ＝ BE ＋ DF . ∵ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ EF ，∴ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ BE ＋ DF ＝ BC ＋ CD . ∵四边形 ABCD 为正方形，∴ CD ＝ BC ＝ AB ＝1.∴ C△ CEF ＝1＋1＝2.
如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 F 是线段 AD 上的一个动点，连接 CF ，以 CF 为对角线作正方形 CGFE （点 C ， G ， F ， E 按逆时针方向排列），连接 BE ， DG . 求证：
【点拨】解与正方形有关的问题时，要充分利用正方形的四边相等、四个角为直角和对角线互相垂直平分且相等的性质，再结合全等三角形的性质和判定、勾股定理进行综合运用.
（2）如图，在线段 CD 上截取 CH ＝ FD ，连接 HG ，设 FG 与 CD 相交于点 M . ∵四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形，∴∠ ADC ＝∠ CGF ＝90°， GC ＝ GF .∴∠ MFD ＋∠ FMD ＝90°，∠ MCG ＋∠ CMG ＝90°. ∵∠ FMD ＝∠ CMG ，∴∠ MFD ＝∠ MCG .在△ FDG 和△ CHG 中，
∴ DG ＝ HG ，∠ DGF ＝∠ HGC .
∴∠ DGF ＋∠ FGH ＝∠ HGC ＋∠ FGH ＝90°，
即∠ DGH ＝90°.
在Rt△ DGH 中，∵ DH2＝ DG2＋ HG2＝2 DG2，
∵ CD － FD ＝ CD － HC ＝ DH ，
如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 E 是 BC 边上一动点（不与点 B ， C 重合），连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右侧作正方形 AEFG ，连接 CF . 当点 E 运动时，∠ ECF 的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出∠ ECF 的度数.
解：∠ ECF 的大小不会变化.理由如下：
如答图，过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H .
∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，
∴∠ H ＝∠ ABC ＝∠ AEF ＝90°， AE ＝ EF .
∴∠ EAB ＋∠ AEB ＝90°＝∠ AEB ＋∠ FEH .
∴∠ EAB ＝∠ FEH .
∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）.
∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF .
∴ EH ＝ BC .
∴ BE ＝ CH .
∴ CH ＝ FH .
∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°.
∴∠ ECF ＝135°.